Koch曲线的Hausdorff测度上界的研究

郭东亮,李聪端,秦家银

(1.中山大学电子与通信工程学院,广东 深圳 518107;2.中山大学电子与信息工程学院,广东 广州 510006)

1 引言

在分形几何研究中,分形的Hausdorff维数与Hausdorff测度的确定很重要,但又是一个难题,二者中Hausdorff测度的计算更加困难[1-5].计算一般集合的Hausdorff测度难度很大,不存在普遍适用的方法.满足开集条件的自相似分形集由于具有严格的自相似性,在计算Hausdorff测度方面的研究成果最多.Cantor集,Koch曲线和Sierpinski垫片是3个经典的自相似集,目前三分Cantor集的Hausdorff维数与Hausdorff测度已经得到完全解决[1],但对于Koch曲线和Sierpinski垫片,人们只求出其Hausdorff维数,Hausdorff测度则难以给出准确值,只能估计其上下界[2-4].

文献[2-3,6-8]均研究了Koch曲线的Hausdorff测度并对其上界进行了估计,文献[9]利用数值计算方法研究了Koch曲线的Hausdorff测度的上界估计值.在已公开发表的文献中,Koch曲线的Hausdorff测度的最好上界是Hs(K)≤0.587697.

本文在已有研究成果基础上,通过在Koch曲线上构造分形级更高的新覆盖并利用相关定理,得出Koch曲线Hausdorff测度的更好上界估计Hs(K)≤0.58764947,并通过进一步的分析,给出了Koch曲线的Hausdorff测度的精确上界在0.58764946至0.58764947之间.

2 Koch曲线及其Hausdorff测度

下面是关于Koch曲线K的一些相关定义和结果[1-2].

(2)设n≥1,Kn中夹角为60◦的相邻两边构成一个正三角形,称作Kn的基本三角形,并记作∆n;

(3)K 是路径连通的,设点A,A′∈K,记AA′为K 上的从点A到点A′的连通弧;

Hausdorff测度记为Hs(·),本文中使用如下引理:

引理 2.1[1]由Hausdorff测度的齐次性知

3 已有结果分析

将图1的FB段图形放大,得到图2,在属于K4的边FB上生成属于K5的正三角形∆GHI,再在属于K5的边GB上生成属于K6的正三角形∆JLM,文献[6]和文献 [7]分别将九边形 JMDEOE′D′M′J′作为新覆盖（M′,J′分别为 M,J关于直线OO′的对称点),基于K6上的连通弧MM′,推导出了K 的Hausdorff测度的更好上界估计值Hs(K)≤0.587847293.

图1 Koch曲线局部示意图(迭代至K4)

图2 图1的FB段图形(迭代至K6)

继续放大图 2中 LMJB段图形,得到图 3,其中正三角形 ∆NPQ属于 K7,文献 [8]基于 K7构造七边形新覆盖而将 K的 Hausdorff测度上界进一步减小至Hs(K)≤0.587697,这是已公开发表的文献中Koch曲线的Hausdorff测度的最好上界.

图3 图2的LMJB段图形(迭代至K8)

表1 比值µ与分形级数n

由表 1可知,µ随着 n的增加而降低并趋于收敛.本文基于这一规律分别在K10,K12,K14这些更高的分形级上构造新覆盖，进一步改进Koch曲线的Hausdorff测度上界.

4 主要结果及证明

将Koch曲线K迭代至K10,可得到定理4.1.

定理 4.1 Koch曲线表示为K,则K的Hausdorff测度的上界

证明 在图 3中,正三角形∆RST属于K8,继续放大边WNS段的图形,得到图 4,其中正三角形∆XY Z属于K10,将15边形BJNXZDEOE′D′Z′X′N′J′B′作为新覆盖 (N′,X′,Z′分别为 N,X,Z关于直线 OO′的对称点),记为U,并考虑K上的连通弧ZZ′,易见 K∩U=ZZ′.

图4 图3的WNS段图形(迭代至K10)

计算新覆盖U的直径如下:

由图4可以算得

因此,新覆盖U的直径是|DE′|.

此为迭代至K10时,Koch曲线的Hausdorff测度的上界估计值,该上界已经好于目前已公开发表的最好上界.

放大图4中的Y Z段,进一步将Koch曲线K迭代至K12,可得到定理4.2.

定理 4.2 Koch曲线表示为K,则K的Hausdorff测度的上界

图5 图4中Y Z段局部图形(迭代至K12)

计算新覆盖U的直径如下:

直线段Y3E′在水平方向的投影长度为

直线段Y3E′在垂直方向的投影长度为

所以,直线段Y3E′的长度为

因此,新覆盖U的直径仍是|DE′|.

由引理2.2,得

此为迭代至K12时,Koch曲线的Hausdorff测度的上界估计值,该上界好于目前已公开发表的最好上界.

放大图5中的Y2Y3段,进一步将Koch曲线K 迭代至K14,可得到定理4.3.

定理 4.3 Koch曲线表示为K,则K的Hausdorff测度的上界

图6 图5中Y2Y3段局部图形(迭代至K14)

计算新覆盖U的直径如下:

所以,直线段Y23E′的长度为

因此,新覆盖U的直径仍是|DE′|.

K14∩U共有属于K14的边数为

由引理2.1,得

由引理2.2,得

此为迭代至K14时,Koch曲线的Hausdorff测度的上界估计值,该上界好于目前已公开发表的最好上界.

5 经无穷次迭代的上界范围

设经过无穷次迭代(n→∞),Koch曲线的Hausdorff测度的上界Hs(K)趋于数值 [Hs(K)]∗,由图6知,当迭代至 K14时,若 K 的新覆盖 U 的直径是 |DE′|,则在新覆盖U与K的交集包含最多K14的边的意义下最优交点是Y23,继续迭代至超过K14时,若K 的新覆盖U的直径仍是|DE′|,易知新覆盖与K 的交点应位于线段Y22Y23上.因此,[Hs(K)]∗的取值范围是

因此,得定理5.1.

定理 5.1 Koch曲线表示为K,则K的Hausdorff测度上界的取值范围是

6 结论

本文通过在 Koch曲线的 K10,K12,K14三个更高的分形级上构造更加精细的新覆盖,利用相关定理计算出了 Koch曲线的 Hausdorff测度的新的上界估计值 Hs(K)≤0.58764947,这是关于 Koch曲线的 Hausdorff测度的迄今所知的最好上界.表 2是文献中已经发表的和本文新给出的 Koch曲线K的 Hausdorff测度的上界估计值,对应的估计值改进量和绝对误差限 (K4,K6,K7是文献中已发表的,K10,K12,K14是本文给出的).

表2 Koch曲线K的Hausdorff测度的上界估计

此外,本文给出 Koch曲线的 Hausdorff测度的上界精确值介于0.58764946和0.58764947之间,由绝对误差限的相关理论可知:本文给出的上界估计的绝对误差限为ε≤0.5×10−8.