高中数学数形结合思想及其实践探究

柳玉凤

摘 要：“数形结合”思想是数学最基本的思想方法之一，贯穿于中小学数学教学的始终. 本文在从现代数学视角下的数形结合思想方法的内涵意义阐述的基础上，分析了高中数学教学中渗透数形结合思想方法的必要性，提出了一些高中数学教学中渗透数形结合思想方法的策略.

关键词：数形结合；数学思想；渗透；策略

数学思想方法是数学知识的精髓，也是引导和促进学生将知识转化为能力的桥梁. 作为数学最基本的思想方法之一，“数形结合”思想始终贯穿于中小学数学教学的始终. 《高中数学新课程标准》指出：教学中教师“要注重数与形的联系，在学习数学和应用数学中不断体会数形结合的思想方法.” 然而在数学教学实践中，教师对数形结合思想的重要性认识不足，或因受教材编写所限，在具体教学时对数形结合思想的贯彻和落实就带有一定的盲目性和随意性. 因此在高中数学教学中，教师要根据高中数学知识的特点，注重数与形的联系，强化数形结合思想方法的渗透与训练，恰到好处地向学生充分展示知识的形成过程，使学生在学会和掌握重要数学知识的同时，不断地体会数形结合的思想方法，学会用数学思想指导知识应用，获得必要的数学应用技能，形成优良思维品质，发展数学能力.

现代数学视角下的数形结合思想方法的内涵意义

所谓“数形结合”，就是把数学中两个非常重要的元素——数量关系和空间形式紧密结合起来，使代数问题与图形问题在抽象思维和形象思维的相互作用中彼此转化，代数问题几何化，几何问题代数化.由此可见，“数形结合”不仅是一种数学思想，而且也是一种数学解题工具，一种解决问题的策略意识.可以说“数形结合”的思想方法无时无刻不活跃在学生的数学学习活动之中. 在高中数学教学始终围绕“形”“数”两个角度来引导学生进行数学学习，有利于使数学中的复杂问题简单化，抽象问题具体化，有利于学生形成完整的数学概念和深层次的把握数学概念的本质，加深对数学知识的理解和记忆，构建和优化数学认知结构. 同时能使学生在积极参与教学活动的过程中，不断积累数学活动经验，提高数学思维，从而获得终身受益的数学思想方法和解决问题能力.

高中数学教学中渗透数形结合思想方法的必要性

1. 渗透数形结合思想方法是落实课标精神的需求

《普通高中数学课程标准》指出：基本数学思想是学生的数学学习目标之一，要求学生在掌握数学基础知识的同时要掌握基本的数学技能和基本的数学思想. 因此在数学教学中应以数学知识为载体，注重数与形的联系，将数和形完美地统一起来，促进学生数形转化能力和创造性思维能力的培养.

2. 渗透数形结合思想方法是发展学生思维的需求

在数学教学中有效渗透数形结合思想方法，通过或是化抽象为直观，或是化技巧为程序操作，不仅能使学生数学的思考具有条理性，能多层次和多角度地来思考问题，而且可以帮助学生树立良好的现代数学思维意识，拓展学生寻找解决问题的途径和发散解题思维，促进学生在将来的学习中能自觉进行数学的思考.

3. 渗透数形结合思想方法是处理好教与学的需求

在数学教学实践中，不少教师对数形结合思想的重要性认识不足，对数形结合思想的贯彻和落实带有一定的盲目性和随意性，在数学知识的教学过程中不能合理布点、由浅入深，从数到形的转换过程过于简单，致使高中生对“数”和“形”的理解比较狭隘，运用数形结合法解题时出现构图不当、转换失真、数与形不等价、条件理解不深刻等问题，未能有效提高学生的解题能力.

基于以上三方面的分析，可以看出，渗透数形结合思想方法既是落实课标精神的要求，也是学生发展的要求，更是彻底改善目前高中数学教与学现状的需要. 在高中数学教学中只有效渗透数形结合思想方法，才能让学生在主动参与的学习过程中不断体会数形结合的意义所在，获得终身受益的数学思想方法和解决问题的能力，促进学生数学的发展.

高中数学教学中渗透数形结合思想方法的策略

1. 恰当运用多媒体技术手段动态展现数形结合思想方法

信息技术具有动态可视化的效果，因此教学中可以利用多媒体技术来展现数形结合方法，动态变化的演示过程不仅能将抽象的数学知识直观形象、变化有序地展示在学生面前，验证发现数学规律，培养学生的动态感，而且为学生进行建构性学习提供了有利的平台，使学生学会利用动态的眼光去看待问题.

高中解析几何不仅是数和形的紧密结合，具有利用方程的性质来研究相应的几何图形的特点，而且它是把曲线，也包括直线看作按一定的几何条件运动的集合.因此教学中用多媒体把“数”和“形”的潜在关系动态地显示出来，并有针对性地加以讲解或组织学生讨论. 通过观察、验证、对比等一系列探究性活动寻找到一般规律和特殊属性，从而充分揭示教学内容中内在的辩证关系，加深学生对几何图形的感知和理解，从而培养学生用运动、变化的观点分析和解决问题的习惯，最终理解和掌握所学知识的实质.

2. 在探寻知识意义的实践活动中渗透数形结合思想方法

数学学习的过程不只是数学知识的习得，而应是引导学生在“经历”“体验”知识的产生、发展和形成过程中发展能力. 因此在高中数学教学中教师要创设开展数学活动的良好情境，给予学生充分的从事数学活动的时间和空间，在亲历中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，发展数学思维.

如，在教学“函数的单调性”时，笔者安排了三个层次的教学活动：（1）以实际生活中的气温变化表、股市走势等让学生利用已有的知识经验进行思考；（2）出示函数图象，引导学生将图象中上升或下降的趋势用自己的语言描述出来；（3）用几何画板动态演示，让学生观察随着x值的变化，函数值f（x）是如何变化的，然后再用数学语言对图形中的上升或下降趋势加以描述. 将图象语言、符号语言、文字语言相结合，在探究、经历“函数单调性”的数学活动过程中使学生对“函数单调性”本质内涵进行理解，体验数形结合的数学思想方法.

3. 在解题过程中合理引导学生使用数形结合思想方法

数学学习的目的，不仅是引导学生学会和掌握数学知识，更重要的是学会用数学思想指导知识的应用. 作为解决数学问题时“由数思形”或“由形思数”的一种数学思想，它可以有效地将数字和图形相互转化，利用形象解决抽象，实现化难为易的效果. 因此教师在平时的教学中应有意识地引导学生把数形结合的思想运用于解答数学问题中去，提高学生的分析及解决问题的能力.

（1）由数思形，以形得数

如：已知f（x）=x2+4x+3，求f（x）在闭区间[-3，1]上的最大值、最小值.

分析：f（x）=x2+4x+3=（x+2）2-1图象的开口向上，对称轴x=-2，作此二次函数的大致草图（如图1），对称轴在区间内，并在区间中点的左侧，故f（x）max=f（1）=8，f（x）min=f（-2）=-（2）由形思数，以数论形

如：如图2，AB为半圆O的直径，且AB=2，P是延长线上一点，且OP=2，Q为半圆上任一点，以PQ为一边向△OPQ的外部作等边三角形PQR，求四边形OPRQ的面积的最大值，并求当四边形OPRQ面积最大值时∠QOP的值.

分析：要确定四边形面积的最大值，必须由题目条件结合图形，把面积的表达式写出来.

设∠QOP=θ，则在△OPQ中，由余弦定理可得PQ2=5-4cosθ，故

.

四边形OPRQ面积的最大值为，此时θ-=，所以θ=.

在引导学生对知识的反思的过程中提炼数形结合思想

高中数学很多知识点屮都蕴含数形结合思想，可以说贯穿于高中数学学习的始终. 然而在数学问题解决的过程中，很多教师往往就题论题，告知学生此题可利用数形结合思想来解，这样不利于学生达到真正意义上的理解和接受. 因此教师要彻底改变重视“教”而忽略“学”的现状，不仅要在整体上做好分类，有目的、有计划地选取典型例题进行分析和讲解，而且还应积极引导学生进行反思与归纳，在对知识的反思的过程中提炼数形结合思想，从而构建完整的数形结合解决问题的策略体系.

总之，在高中数学教学中教师要从着眼于学生数学能力的提高的视角，在数学教学中体现对数形结合思想方法的关注和重视，注重学生数学思想方法的激活，让学生从解决问题的方法和过程中感悟与体会数学思想方法，在亲历自主探究解决问题的过程中实现知识的完整建构，促进学生数形转化、迁移思维与分析问题及、解决问题能力的提升，发展数学素养.