高中数学教学中“变题”的方法与技术研究

章杰

摘 要：高中数学教学中，学生的解题能力培养是关键. 实际教学中，学生的解题能力不强，与多重因素有关，学生对习题情境的把握，对解题思路的判断等，都是重要的影响因素. 变题研究，可以让形似或神似的习题成为习题组，可以让学生在对比的过程中形成深刻认识. 变题研究不能放弃传统的思路，同时要重视变式思路；变题研究需要重视技术视角下的变题步骤，以确定好母题与子题.

关键词：高中数学；变题；变题研究；方法；技术

高中数学教学中，学生的解题能力是培养重点，传统的教学思路中，学生的解题能力更多地在杂乱无章的题海中自然形成，低效性不言而喻. 而要想系统地培养学生的解题能力，除了基于已有的习题按知识体系进行分类专题训练之外，“变题”是一种堪称能够迅速提升学生识题解题能力的“捷径”，而变题的方法与技术则是变题研究的核心，近些年结合教学实践以及他人的经验，笔者展开了相对系统的研究，形成一些粗浅的认识，在此向同行们做个汇报，并希望得到有益的建议.

关于变题的背景与理论概述

对于当前的教学实际来说，习题可以说是高中数学教学的核心，在不带偏见的情况下审视习题，可以发现习题就是教学的灵魂. 尤其是对于高中数学而言，习题解答的过程，就是学生运用所学的数学知识，结合自身的数学思维，在分析问题的基础上寻找解决问题途径的过程. 在这个过程中，学生的学习能力可以得到彰显，分析思维能力得到体现，学习品质与解题心智得到评价，因此习题解答是衡量学生数学学习的重要途径. 但在实际教学中，我们看到相当一部分学生在面对习题时，常常暴露出思维单一、生搬硬套的缺点，而教师的感觉常常是：讲过的才会；讲过的也不会；无论怎么讲都不会……背后暴露出来的，就是学生解题能力弱，而解题能力弱的原因，又是学生在面对变化了的习题面前，无法有效地判断习题情境并寻找数学工具.

笔者反思过一个问题：任何一道习题尤其是经典的习题，常常是出题者心血的凝聚，更是教学智慧的凝聚. 在这个过程中，命题者会有什么样的思维呢？在实际教学中，如果让学生经历与命题者类似的心理活动过程，那对学生的数学学习来说不就是一种解题心理适应能力的培养吗？基于这样的思考，“变题”及其训练就成为笔者研究的一个重点.

变题对于高中数学来说并不完全是一个新的概念，很早之前就有变式训练的提法（当然，笔者的变题研究也相当程度上借鉴了变式训练的思想），再后来有一题多变的提法. 进入课程改革之后，习题的编制更加重视情境，于是接近生活的各类试题层出不穷，而透过这种变化的表象，可以看到实质性的数学工具使用并没有改变. 基于这样的实际情况，笔者感觉在高中数学教学中实施变题，有着明显的实际意义. 而更加显而易见的是，变题中的方法与技术应当是教师重点研究、学生重点感知的内容.

也就是说，以变题为主线的高中数学习题教学，应当是在教师掌握变题方法与技术的基础之上，让学生在变题训练的过程中生成良好的解题直觉. 阶段性的研究表明，变题有形式之变与实质之变之分，前者在新知教学之初，可以让学生在形式之变中重复运用所学知识，从而起到积累作用且不会让学生有审美疲劳；而后者则可以开拓学生的解题思路，形成良好的解题视域.

高中数学变题方法技术研究

显然，研究的重心应当放在变题的方法与技术上，在实际教学的过程中，我们首先确立了变题的基本思路，即对典型习题进行分类整理，然后再去谋“变”. 当前高中数学教材版本众多，但习题尤其是变题研究不应当拘泥于某一套教材，因为知识是相通的，高中学生的数学思维也具有共性，因此基于所教教材，将眼光放至全国范围并纵观近年来各地的高考与模拟试题，是变题的基础与指向.

研究表明，变题的方法有这样的几种：题型改变；数据改变；情境改变；已知、未知关系改变；变式思想引领下的改变等.

其中，题型改变主要应针对当前高考题型，可以将填空、选择题改变为计算题，这样可以培养学生思维的缜密性；将简单计算题、证明题改为填空或选择题，可以培养学生良好的直觉性思维；数据的改变可以对数学基础较差的学生施行，而情境的改变则应当面向除了极少数尖子生之外的其他学生，这可以培养他们良好的习题情境适应性. 至于已知与未知关系的改变，则更多的是为了培养学生构建基本的数学逻辑关系，让学生知道如何基于数学逻辑关系尤其是数学公式进行思路变换的训练.

以上一段不举例说明，一个重要的原因就是传统的教学中对此已经有足够的重视，日常教学中的关键在于落实. 且需要强调的是，这些思路看起来没有所谓的新意，但对于学生而言却是极好的思维训练手段，不可因为没有新意而舍弃之. 此处笔者想强调的是基于变式思想进行的变题研究.

变式变换的是习题的表现形式，同时保证习题的思想不变. 这里的思想不是指考查对象即数学知识点，而是指对学生数学思维的考查. 在实际教学中经常会看到隶属不同知识点习题实际上是用的同一种数学思维，而学生恰恰难以意识到这一点.基于此进行变题研究，显然很有价值.

例如，作图是学生解数学题的基本功，实际教学中，相当一部分学生作图会出现不准确的情形，即使常常因此出错也寻找不到原因. 于是笔者给出这样的一组两道试题（变题的结果）：

题1：判断命题的正确性：当a>1时，关于x的方程logax=ax没有实数根.

题2：已知方程x=sinx，则其解有几个.

这两道试题看似没有直接联系，但在解题思路上却存在着需要作图的共同特征，而且这两道题具有基础性，可以在新知识教学或者阶段性复习中使用. 笔者的使用是先呈现第一题，然后就学生出错的情况进行寻因，同时不做评价；在第二题呈现并在学生产生类似解题感觉之后，再强调两者的共性，即作图要准确. 这样学生的认识自然就会深刻，反之，不提供这样的变题结果，学生很少有这种归因的机会，也就很难认识到数学作图的重要性.

从技术的角度来看，笔者所总结出的变题的一般步骤包括这样几步：寻找母题；分析母题；实施变题；解决变题；评估变题.

母题从哪里来？来源很多，但学生易出错的是重点. 如上面的题1，笔者就是发现学生有即使找到了简便的思路即作图，却仍然无法得到正确答案的现象. 于是笔者以之为母题并进行分析，然后寻求变题（变题可以是另外一道题目，也可以是母题的变换），上题2是笔者在题1的基础上总结出的将两个不同类型的函数即y=x与y=sinx建立等量关系，同时在作图时如果容易出错的话，那就可以作为题1的母题.在学生完成解答之后，再回头进行评估. 评估的过程，其实就是解析思维过程，提升解题能力的过程.

总结以上提到的变题的方法与技术，可以看到变题的关键有三：一是扣准学生的学习需要.高中数学习题如海，能总结出规律的也数不胜数，但切合学生需要的是最关键的，在不同的学习阶段需要什么样的变题组，是教师需要积累的教学经验；二是变题的方法不拘泥于新旧. 适合的才是最好的，传统的变题方法未必不好，因为今天的高中学生在建构新知识时仍然需要；新的变题方法也是必需的，因为其是适应新习题的需要；三是变题之变在于思想相通. 要变换的不仅仅是题目的形式，更是解题思想. 只有一个解题思想才能统领一类题目，也只有基于解题思想去实施变题，才能加大学生的解题视野，提升解题能力.

变题是如何促进学生学习的

在研究的过程中，笔者还关注一个问题，那就是变题在促进学生解题能力提高的过程中，具体是如何发挥作用的.研究发现，有以下三点值得重视：

一是注意变题的科学性.如前所说，变题要切合学生的需要，有时能让教师眼前一亮的习题未必是好题，因为提供给学生的时机可能不对，这一点同行们都比较清楚，不赘述.

二是注意变题的适切性.变题之后，子题与母题必须有明确的联系点，且这个联系点必须为学生所知道，只有这样才能让相似的试题成为组题，从而扩充学生的记忆容量.

三是注重学生的主体参与.这也是容易忽视的一点，变题一定不能只成为教师的事情，一定需要学生的主体参与. 要改变单向的教师变、学生练的情形，要让学生参与到变题的过程中来，他们在变题中表现出来的思路或者说不足，应当成为教师变题时重点考虑的内容. 同时，让学生参与变的过程，也可以让学生换一个视角，即从命题者的角度去看待习题. 有了这样的视角与高度，学生解题时的心理会大不相同，这对于学生把握命题者思路、寻找解题途径而言，极有好处.

此外需要强调的是，变题过程中教师需要大力关注学生在课堂上的表现，这对学生思维的把握，对教师把握变题研究及教学节奏来说，也很重要，限于篇幅，亦不赘述.