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《1.5.1曲边梯形的面积》教学设计

2016-04-23吴俊英

数学教学通讯·高中版 2016年3期
关键词:定积分

吴俊英

摘 要:定积分是微积分教学的重要组成部分,而曲边梯形面积的求解过程是定积分概念的核心内容. 本文通过实例分析介绍曲边梯形面积求解的教学设计,解析教学过程中的重点与难点,并通过课堂教学后的总结与反思,进一步提出曲边梯形面积求解教学过程的优化改进思路,从而为高中数学教学提供有益借鉴.

关键词:定积分;曲边梯形;面积求解

课程介绍

《曲边梯形的面积》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节第一课时的内容. 定积分的思想方法是高等数学里的重要思想方法,是微积分的重要组成部分,在求解不规则图形的面积、变速运动的路程、变力做功等问题方面有着广泛的应用. 而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容,所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用.

[?] 教学目标分析

1. 知识与技能目标

(1)知道曲边梯形的概念,通过实例了解求曲边梯形面积的过程,初步感受“以直代曲”与逐步逼近的数学思想方法,为今后学习定积分的概念做准备;

(2)初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤:“分割、近似代替、求和、取极限”;

(3)培养分析与综合、抽象与概括的能力,以及进行复杂运算的能力.

2. 过程与方法目标

(1)经历求曲边梯形面积的过程,借助几何直观体会“以直代曲”及“无限逼近”的思想;

(2)体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程.

3. 情感、态度与价值观目标

(1)认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点;

(2)经历解决问题的全过程,感受成功的乐趣,提高刻苦钻研数学问题的积极性.

教学重点、难点解析

重点:直观体会定积分的基本思想方法:“以直代曲”、“无限逼近”的思想;

初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四部曲”(即:分割、近似代替、求和、取极限).

难点:“以直代曲”、“无限逼近”思想的形成过程及理解.

教学设计分析

(一)情景设置,问题引入

问题一:人们在社会实践和生产活动中有时会遇到一些图形面积计算的问题,史料表明,由于测量田地面积的需要,古埃及人很早就能正确计算矩形、三角形、梯形的面积. 我们会求正方形、三角形、平行四边形、梯形等“直边图形”的面积,现实生活中遇到的大量“曲边图形”,如何求“曲边图形”的面积?比如求泉州市面积.

问题二:该户型图有些边是曲线,有些边是直线,又如何测量该房屋的面积?

设计意图:体现了数学来源于生活,数学又应用于生活. 引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”. 用网格法求面积时边缘往往是不规则的图形,引出曲边梯形及求曲边梯形的面积问题.

学情预设:带着问题走进课堂,诱发学生的好奇心,激发学生的学习兴趣和求知欲望.

(二)新课教学,合作探究

定义:由直线x=a,x=b(a≠b),x轴与曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.

设计意图:了解曲边梯形的结构特征.

学情预设:揭示“直边图形”和“曲边图形”的本质联系,得出曲边梯形的定义.

探究1:对于由y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形面积该怎样求?

(该图形为曲边三角形,是曲边梯形的特殊情况)

设计意图:先考虑特殊的曲边梯形面积,符合学生的认知规律. 由简单到复杂也有助于学生思维的构建和方法的形成.

学情预设:教师引导学生回顾刘微的“割圆术”求圆的面积的“以直代曲”和无限“逼近”思想. 体现化归的数学方法. 在学生已有知识的基础上,提出解决方案,归纳学生的方案.

探究2:能否直接对整条曲边进行“以直代曲”呢?为什么?

设计意图:类比求圆面积方法,启发学生思维活动. 让学生意识到该作法存在缺陷.

学情预设:学生讨论,交流得出结论:可能导致误差过大.

探究3:怎样才能尽量减小误差?怎样分割?分成怎样的形状?分割成多少个?(分割)

设计意图:循序渐进,因势利导,引导学生寻求减小误差的方法途径.

学情预设:学生提出自己的看法,同伴之间进行交流、合作. 教师利用多媒体课件演示.

探究解决途径:在局部小范围内“以直代曲”.

探究4:对每个小曲边梯形如何“以直代曲”?采用哪种好?(近似代替)

设计意图:引导学生选用恰当的方法作近似代替:小曲边梯形面积(曲边图形)化归为小矩形面积(直边图形).

学情预设:引导学生回忆平行四边形面积的求法,用“割补法”转化为矩形求解;学生可能提出多种“以直代曲”的方案.教学中,组织学生讨论、分析各种方案的利弊及可操作性(常见三种方案).

探究5:如何求分割后曲边梯形面积的近似值.(求和)

设计意图:分配学生任务,分组合作,尝试计算三种近似代替的结果. 培养学生的合作交流的能力,优化解题方案.

学情预设:计算难度大(忽略计算过程,对于用到的计算公式加以简单说明). 由教师示范方案(1)的计算过程.把学生分成两组,分别以方案(2)、方案(3)按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积,并将操作过程和计算结果与方案一进行比较.

探究6:如何从曲边梯形面积的近似值求出曲边梯形的面积?(取极限)

步骤一、计算前先用几何画板动态演示当n增大时矩形面积和与曲边梯形面积逼近情况.

步骤二、计算出结果后再用几何画板以表格的形式计算当n增大时,矩形面积和的值的变化趋势.

设计意图:步骤一从几何角度直观感知、体会“无限逼近”思想,主要是先让学生从图形上直观感知“分割—近似—求和—取极限”的必要性和可行性,从而尽可能消除学生的顾虑;步骤二结合三种计算结果,从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想,为了验证结果的可靠性,用数据说话,使学生信服.不管是利用图形还是利用数据,都可以将取极限这个抽象的过程具体、形象、一步一步地呈现出来,有助于学生的理解.体现数形结合的数学方法.

学情预设:学生观察几何画板演示,注意观察近似值的变化趋势:

(1)在不足近似中,随着n的增大,近似值逐渐增大,并趋近实际面积.

(2)在过剩近似中,随着n的增大,近似值逐渐减小,并也趋近实际面积.

通过两种近似代替的探究,形成左右夹逼,都趋于同一个值,让学生“心悦诚服”地认识到有极限的方法可以消除用 “以直代曲”的方法计算图形的面积所带来的误差.

的函数值f(ξ)为高,会有怎样的结果?

设计意图:认识到近似代替的方式不唯一性,循序渐进,有助于发散学生思维空间. 为定积分概念做初步铺垫.

学情预设:学生发表自己的看法,类比书中的方法,进行思考、讨论、归纳、总结. 得出S=f(ξi)=.

探究8:由直线x=a,x=b(a≠b),x轴与曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形的面积应如何求?

设计意图:通过类比,得到一般曲边梯形的面积表达,解决本课开始提出的问题,起到前后呼应的作用. 体现由特殊上升到一般、由具体到抽象的认识提升. 同时进一步为定积分概念做铺垫.

学情预设:由学生观察、交流,类比:为[0,1]等分后的小区间长度.从而得出:

(三)实战演练,巩固新知

练习:求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.

设计意图:培养学生自觉运用新知、方法的能力.

学情预设:教师巡视,实物展示,加以点评.

(四)小结反思,深化认识

小结:(1)求曲边梯形面积的思想方法是什么?

(2)具体的步骤是什么?

设计意图:归纳总结本课所学的知识和思想方法.起到在认识上进一步深化、升华.

学情预设:以学生叙述为主.不足之处,教师加以补充.

(五)课后作业,巩固提升

补充:求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.

设计意图:巩固提高,拓展延伸.

课后反思

本节课通过探求曲边梯形的面积,使学生了解了定积分的实际背景,并借组几何直观体会“以直代曲”“逼近”的思想方法,建立定积分概念的认识基础,为理解定积分的概念及几何意义奠定基础.

“曲边梯形的面积”的内容与解法对学生都是全新的,富有挑战性,学生学习积极性很高,但不具备解决问题的办法. 如何启发学生“以直代曲”,进而作和是上好这节课的关键. 在研究曲线上点P处的切线问题时,随着点P附近的曲线被渐次放大,会发现曲线在点P附近看上去几乎成了直线. 因此在点P附近,可以用“直线”代替曲线. 同样,将曲边梯形分割成小曲边梯形(当然可以任意小),可以用“直边”来代替曲边,即在很小范围内“以直代曲”.

本节课的另一个难点在推理论证环节,通过分割、近似代替、求和三步之后,又面临一个求极限的问题,由于新课标教材对求极限的内容不做要求,在课堂上有效地利用多媒体技术,前串后连,突破时空局限,使课堂上无法完成的内容得以呈现,大大节省教学时间.

教学的艺术不在于传授本领而在于激励、唤醒、鼓舞,在教学过程中,不但要传授学生的课本知识,更要培养学生的数学学习能力,在本节课的开始,从学生已知的图形的面积出发转到曲边三角形学生未知的图形面积,学生的求知欲被调动起来.在教学过程中,教师应利用教材提供的内容让学生思考、讨论、合作交流,替学生创设一个宽松、和谐的课堂气氛,激发学生探究的欲望. 在教学过程中让学生多动手,多动脑,多猜想,三种方案只要学生想到其中一种,就给予及时的表扬,在学习过程中,多提供让学生体验成功的快乐的机会,让学生在学习的过程中享受数学的美.

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