精选“数学现实”，践行“用教材教”——以七年级“余角与补角”教学为例

☉江苏省南通市通州区西亭初中　邵　艳



精选“数学现实”，践行“用教材教”——以七年级“余角与补角”教学为例

☉江苏省南通市通州区西亭初中邵艳

近读《中学数学》，严冬梅老师在文1中对专家教师李庾南老师“余角与补角”新授课的教学设计进行了解读和赏析，感受到专家教师辨识学段特征的功夫，同时在初中几何起始教学阶段就重视对学生的推理表达能力的训练，让笔者深受教益.恰好在最近一次教研活动中，笔者有机会执教七年级“余角与补角”新课，借鉴了上述课例中的很多观点和立意，研讨课取得较好的反响和好评.本文整理该课的教学设计，并整体阐释教学立意，与更多同行分享.

一、“余角与补角”教学设计

环节1：由一组习题引入定义

开课之初，在黑板上依次画出一条直线AB，在直线AB上取一点O，利用三角尺引射线OC使∠BOC为直角，再利用三角尺作出∠COD= 30°（如图1）.

图1

问题1：图中除平角外，有几个角？如何表示？

问题2：图中有几个锐角？锐角的度数有什么关系？图中钝角的度数是多少？

预设意图：复习角的概念、表示法，并会利用平角、直角的关系求出其他角的度数.“问题2”为进一步定义互余、互补提供“数学现实”情境.

互余的定义：两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余.

讲解：如果∠1+∠2=90°，就可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角.如果两个角互余，把两个角粘在一起的话，就构成一个直角.如图2.

图2

互补的定义：如果两个角的和等于一平角（180°），就说这两个角互为补角，简称互补.

讲解：如图3，∠3+∠4=180°，所以∠3，∠4互为补角.∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.

注意：提醒互余、互补只是定义了两个角度之间的数量关系，与位置关系无关.但是一些具有特殊位置关系的角，如图1、图2、图4中的两角就同时具有互余或互补的性质.

环节2：一幅三角尺摆放出的互余、互补关系

过渡语：现在同学们都知道了一幅三角尺中两个锐角都是互余关系.下面让我们把一幅三角尺进行如下不同的摆放（图5～8），试分析α、β之间的关系.

图5　

图6

图7

图8

问题3：α与β一定相等的摆放方式有几种？

预设意图：图6、图7中α与β一定相等，这时追问学生推理依据.给学生写出规范的推理语句，并总结性质：同角（等角）的余（补）角相等.

问题4：你发现上述摆放方式中的α与β还有怎样的数量关系？

预设意图：让学生发现互补、互余两种关系.特别是图8中这种互余的关系，在后来的几何解题中有广泛的应用，这里需要让学生熟悉它们互余的道理，如何推证，写出简单的推理语句是这里训练的重点.

环节3：画图探究“双角平分线”基本图形及性质

图9

画图：如图9，画∠AOB=90°，在其内部引射线OC，再用量角器作射线OM、ON，使OM平分∠AOC、ON平分∠BOC.

安排学生度量∠MON的度数并小组内核对度量结果，思考∠MON的度数与∠AOB的度数有何关系？

预设意图：这是一个经典问题，与之前学生在线段双中点问题中积累下来的解答经验类似，需要学会洞察这类问题的深层结构，并学会推证结论.

环节4：课堂小结，当堂检测

引导学生小结本课所学互余、互补的概念和性质之后，进行5分钟的限时检测.

二、教学立意的整体阐释

1.精选数学现实，贴近学生最近发展区引入新课

《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导数学情境包括生活现实、数学现实及其他学科现实，对于初中几何教学来说，特别是一个知识板块中的几何内容，注意从前后一致、逻辑连贯的角度预设开课情境.像本课余角、补角的教学，很多教材上都是从一幅三角尺中两个锐角互余出发，引入新课，这种引入方式固然有一定的合理性，学生也能接触互余、互补的概念.然而从几何知识的逻辑严密性来看，前面刚学习线段、角的初步知识，并没有学习三角形内角和定理，而使用三角尺来引入余角的定义显得有些逻辑性上的缺陷.基于上述认识，我们选择了在图1中先画平角、再画直角、再画30°角这样渐进式画图的方式，呈现出一些角度之间的关系，既是对前面所学几何内容（特别是角的表示法及度量角度等）的复习，又为定义余角提供了有效的数学情境.从这个意义上看，我们所谓的“贴近学生最近发展区”就不仅是学生已有的经验，还需要从所教学内容的逻辑性、前后一致的高观点来审查、取舍教学情境的预设.

2.预设画图活动，发展学生几何文字语言与图形的对应能力

本课中，我们预设了多处画图活动，不仅开课时由教师示范作图，并成为开课阶段的一个有效的数学现实情境；在教学环节3中，又安排学生画一个直角的“双角平分线”图形，并经历度量、验证等环节，应该说前面的画图是发展学生几何文字语言与图形的对应能力，后面的验证则是初步训练学生的推理能力.根据教学经验，一些几何适应性偏弱的学生，常常是几何文字语言与图形之间的对应、转译能力存在障碍.一个教学现实是：不少学生面对文字命题常常表现出较低的适应性，而很多文字命题往往又会出现图形位置的不确定性，需要分类讨论.可见，几何起始阶段教学，重视文字语言与图形语言、符号语言之间的对应或转译是十分重要的.

3.辨别学段特征，几何起始教学时做好推理语句的示范与引领

初中几何学习不同于小学图形的学习，初中几何主要是欧氏几何系统，以训练学生的逻辑思维、理性精神为主.上述学段特征明确之后，就需要排除大量现实情境的干扰，引导学生善于抽象分离出几何图形并初步使用推理语言进行表达、推理或说明.在上面课例中，我们在环节2中，结合三角尺摆放后出现的α、β相等的情况，引导学生从推理的角度说明，借助学生在方程学习中已有的等式性质推理说明.事实上，就后续几何证题所需要的解题能力来看，等式性质参与下的几何解题技能是普遍使用的，特别是在全等三角形证明过程中对于间接条件的处理.

4.注重变式设问，培养学生洞察问题深层结构的能力

在教学环节3中，通过“双角平分线”基本图形的研究，引导学生感受这个问题结构与之前线段学习时积累到的“双中点”基本图形的经验，能培养学生洞察问题深层结构的能力.而这种深刻的洞察力、敏锐的捕捉力恰恰是后续繁杂图形问题能否快速贯通思路的关键.

三、结束语

有人说，越简单的教学内容往往越难教学.多轮循环教学之后，笔者教过“余角和补角”不下十余次，此前多是简单照搬教材内容，照本宣科，没有能从“教教材”走向“用教材教”.这次算是一次初步尝试，虽然获得听课同行的好评，也引发一些人的议论，期待听到更多的批判与建议，更欢迎类似案例跟进，让“用教材教”这种教学“风气”得到进一步传播.

参考文献：

1.严冬梅.辨识学段特征，重视推理训练——李庾南老师“余角与补角”课例赏析［J］.中学数学（下），2015 （9）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.刘东升.辨别学段特征：初中几何教学的用力点——以“圆（第1课时）”教学为例［J］.中学数学教学参考（中），2015（3）.