依靠“基本套路”，践行“单元教学”——以“矩形、菱形”第1课时教学为例

☉浙江省温州市瓯海区塘下中学　陈乘风



依靠“基本套路”，践行“单元教学”——以“矩形、菱形”第1课时教学为例

☉浙江省温州市瓯海区塘下中学陈乘风

初二几何中特殊的平行四边形（如矩形、菱形及正方形）教学时，常常是分别研究矩形、菱形及正方形，一个一个地开展研究，而且有些教师还将矩形的性质专门安排一课时，矩形的判定再安排一课时，似乎担心学生接受不了，各个击破，然后辅之以大量的练习题美名为巩固训练.经由《中学数学》等刊物推介的李庾南老师倡导的单元教学表明，基于数学知识的前后一致、逻辑连贯而重组教材，开展单元教学是有教学可能性的.笔者在新近一次执教特殊的平行四边形的研究课时，就整合教材内容，把矩形、菱形及正方形作为一个单元，在该单元的第1课时就跟学生一起研究矩形和菱形的性质与判定，也取得了较好的教学效果.本文整理该课的教学设计，并跟进解读教学立意，供研讨.

一、“矩形、菱形”第1课时教学设计

（一）开课阶段，研究矩形

从复习平行四边形的定义、性质与判定开始，在黑板上给出四边形到平行四边形的条件，并引导学生回顾研究平行四边形的“基本套路”，即从定义、性质和判定的角度开展研究，而具体的是关注边、角、对角线三种元素.

图1

接着添加强化条件（如图1）：平行四边形的一个内角为直角时，此时平行四边形成为一个什么图形？（预设：学生熟悉的长方形）

根据研究经验，请学生给出“定义”：有一个角为直角的平行四边形为矩形.

追问：矩形是一种特殊的平行四边形，它有哪些性质呢？你准备从哪些角度来研究矩形？（安排学生独立探索2分钟后再在小组内交流，然后全班汇报，最后教师参与梳理形成板书，从边、角、对角线、轴对称性质的角度概括、归纳出矩形的性质定理）

（二）例题学习，研究判定

例1如图2，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形的对角线的长.

图2

讲解预设：安排学生先贯通思路，然后请学生汇报自己的思路，其他学生倾听后表达各自的思考.比如有的学生可能是先证等边△ABO，再分析出矩形对角线的长；也有学生是先推出△ABC是含30°角的特殊直角三角形.

变式：在这个问题中，把目光聚焦在Rt△ABC中，如果没有∠AOB=60°这个条件，点O是AC的中点，则斜边AC上的中线BO还会是斜边AC的一半吗？

变式意图：从特殊到一般把思考引向深入，并得出性质定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”证明这个定理时，可以利用“倍长中线法”将三角形补全成一个四边形，并证出这是一个矩形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质证明定理.

在上述研究过程中，将会涉及矩形的判定，以此为过渡，接下来就全面研究矩形有哪些判定方法.

研究矩形判定的活动预设：先安排学生独立研究，从边、角、对角线等角度思考，可以先证平行四边形后再增加强化条件；也可以从一般四边形开始，引出三个角为直角等，最后再跟学生一起明确符号语言，便于规范和简化后续例、习题的解题过程.

例2如图2，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=60°，求∠OAB的度数.

讲评预设：需要引导学生重视证明矩形的过程和规范步骤，并体会矩形性质、判定的灵活运用.

追问：当AD=2时，求▱ABCD的面积.

（三）类比学习，研究菱形

过渡：刚才我们对平行四边形添加一个强化条件后成为矩形，如果我们添出另外一个强化条件（如图3）：有一组邻边相等，此时平行四边形又会怎样特殊呢？你准备从哪些角度来研究呢？

图3

预设：安排学生独立研究3分钟后，小组内交流，再全班汇报.在汇报过程中，教师可通过引导、追问，把问题研究的角度丰富起来，具体来说，如何定义菱形？怎样研究菱形的性质？怎样反过来研究菱形的判定？如何使得判断的条件最简化？最后在黑板上形成板书，梳理出相关知识要点.（限于篇幅，这里不给出相关性质和判定定理）

例3如图4，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=3，BO=4.求证：▱ABCD是菱形.

图4

预设：安排学生利用勾股定理的逆定理证明AC⊥BD之后，再结合菱形的判定方法证出菱形.教学对话时关注学生的表达，特别是几何语言的组织是否准确、简洁.

追问：你有哪些不同的方法求菱形ABCD的面积？

预设：可以作出BC边上的高，也可根据菱形两条对角线互相垂直，直接用对角线乘积的一半；或者求出△ABO的面积，再乘以4等，暴露学生的思维过程，展示不同解法.

（四）练习与“生长式”小结

练习：如图5，两张等宽纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个什么图形？为什么？

预设：学生首先会发现这是一个平行四边形，但还不彻底，需要发现这是一个菱形，并追问判定菱形的依据.

图5

图6

变式：将其中一张纸条继续旋转，如图6，四边形ABCD中有一个直角时，此时四边形又是一个什么图形呢？

预设：这时成为一个正方形了，而本节课由于教学时间所限，课堂上已没有继续研究的时间了，就把正方形作为特殊的矩形或特殊的菱形留给学生课后自主研究，并在黑板上形成四边形与平行四边形之间的知识结构.

附：板书设计

特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

二、教学立意的进一步阐释

1.基于知识的前后一致、逻辑连贯规划教学单元

由李庾南老师倡导的单元教学可知：单元的划分是第一位的，即根据知识的整体结构，“前后一致、逻辑连贯”（章建跃语）整体规划教学单元，像本文课例规划在矩形、菱形及正方形这一单元中，而本课作为第1课时，第2课时可以继续研究正方形，第3、4、5课时建议安排相关习题课的教学.值得一说的是，根据学情，如果第1课时的教学内容偏多，还可在整个框架之内做灵活的处理，比如只探究到了菱形的性质教学时间就到了，那么就在第2课时继续菱形的判定研究，并后续开展正方形的研究，这样在整个单元的知识体系都构建起来之后，再进入本单元的习题教学.

2.基于学生最近发展区，用好学生已有“研究套路”

最近发展区理论是新世纪课改以来一个普遍得到传播的教学理解，从本质上说就是要基于学情，也是“三个理解”（章建跃语）中的“理解学生”.对于本课例来说，学生的最近发展区有多个理解的角度或层次，比如学生已有四边形、平行四边形的知识储备，同时有了研究三角形、四边形的很多“研究套路”，比如新接触一种图形，则需要研究它如何定义、性质怎样、如何判定等，具体来说，又需要从边、角、对角线、对称性等角度开展深入、细致的研究和概括.

3.重视教材例、习题的变式追问，让教学环节关联呼应

数学教学离不开例、习题的训练，而例、习题的选择首先要关注的是教材，这也是“以本为本”的重要内涵.本课例中一些例、习题均选自教材，但又不止步于教材例、习题的照搬呈现，而是加强了变式与追问，使得这些例、习题的功能得到充分发挥，特别是通过一些变式与追问使得教学环节之间充分关联与呼应.比如，在例1的变式中，把矩形“截去”一半得到直角三角形后，把问题的思路过渡到矩形性质的一个推论（直角三角形斜边上的中线的性质）.再比如，例3选自教材，但不止于判定菱形，而是进一步整合教材内容，把菱形面积融合进来，使得例题的功能得到丰富，追求了成果扩大，实现了“做一题，会一类”的教学效果.

参考文献：

1.汤志良.步步有据：推导幂的运算性质——李庾南老师“幂的运算性质”课例赏析［J］.中学数学（下），2015（5）.

2.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

3.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.仇锦华.从数学整体观看单元教学［J］.中学数学教学参考（中），2015（11）.