走向更具数学意义的概念教学——从袁红老师《认识面积》一课说起

许卫兵（特级教师）

在数学知识体系中，概念（包括定义、原理、法则、规律、术语等）是基础中的基础，是数学学习向前、向上发展的基石。无论是传统教学，还是现今课堂，都十分重视数学概念的教学。

现场观摩袁红老师执教的《认识面积》，感触很多。这节课不仅在情境创设、课堂结构、自主学习、有效调控等传统教学要点方面做得很讲究，很有实效，更为鲜明的特点是，对“面积”这一数学概念的数学意义诠释得很好。

翻阅词典、查阅百度词条、打开近二三十年来的小学数学教材，对于“面积”的定义可谓是高度一致，选用教材里的表述就是“物体表面或平面图形的大小”。尽管现行的数学教材中，有些版本（如苏教版）已经不出现这句话了，但老师们教学时还是扣准这层含义来进行的。

回顾“面积”一课的日常教学（也包括部分名师的课堂），大多是在课堂开始几分钟比较黑板面、书本面、课桌面大小后，老师直接给出“物体表面的大小，叫做它们的面积”的定义，然后让学生模仿着说“课桌面的大小就是课桌面的面积”“黑板面的大小就是黑板面的面积”等。这样的教学具有很强的“短、平、快”的特点，也是围绕面积的固有定义来展开的。但很显然的是，这样的教学，“告诉”的痕迹很重，尤其是没有将面积的“计量”意义表达出来（所谓计量，即把一个暂时未知的量与一个已知的量作比较）。说白了，给了学生的只是一句话，还不是对面积本质意义的解释。相比而言，袁红老师《认识面积》的教学，将“面积”放在计量系统中教学，按照“认识面→有的面大，有的面小→面的大小可以通过多种方法来比较→用某一个标准去度量时，面的大小就可以用数据刻画（描述）出来→这种新的计量产生‘面积’”的逻辑脉络，凸显的是它的计量意义。毫无疑问，这是对传统教学的一次突破和超越。

由此可以看出，对每一个数学概念的理解，并不能简单地局限在这个概念的文字表述上。事实上，有一些数学概念、术语，在教材中连文字的定义都没给，比如长度、时间、圆、加法等，再比如，“10个球放到3个抽屉里，每个抽屉里至少要放几个球”里的“至少”就是一种特定的数学表达，具有特别的数学意义——考虑最不利、最平均的情况。教学中，无论有文字定义还是没有文字定义，都不能简单地停留在文字表述上，或者满足于让学生能说能记所谓的概念或定义，更为重要的是，要深入把握概念的数学意义，教出概念的本质要义。

那如何才能让数学概念的教学实现这样的意义表达呢？我们不妨从以下几个方面来尝试：

第一，将概念放在数学知识系统中来教学。关联性是数学知识体系的重要特征，用系统的、联系的眼光理解概念，可以更加凸显概念的数学含义。比如，六年级认识圆柱和圆锥这两种形体（小学里只涉及直圆柱和直圆锥），通常都是将它们视为两种不同的形体来研究，事实上，如果将圆锥看成是圆柱的某一个底面缩小为一个点（圆心），那就可以将圆锥的认识建立在圆柱的基础上，很容易解释“为什么圆柱有无数条高，而圆锥只有一条高”“为什么圆锥可以采用跟圆柱相似的体积计算公式，只不过要乘以三分之一”等道理。再比如，认识小数的时候，不仅要和分数联系起来——一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几……我们还要看到，小数和整数之间也是相通的，每一个小数都可以转化成整数——只要用更小的计量（数）单位，比如，0.3元是小数，但是，如果将它用“角”做单位，就变为“3角”。反过来，整数也是可以变成小数的，只要用更大的计量（数）单位。每一个概念都不是孤立存在的，即便是简单的自然数1、2、3、4、5……都应该让学生明白这不只是五个数，更是一组数列：1加上1就变成了2，2加上1就变成3，3再加上1就是4……如此延续，自然数列就产生了。在数学体系中学习数学概念，能赋予它更强大的系统能量，让学生认识更透，掌握更牢。

第二，赋予概念以特定的过程、思想、方法意义。数学是人类的创造，而创造总是和过程联系在一起的——数学知识的产生是过程，学生对数学知识的习得需要过程，数学知识本身的数学含义也是和过程、思想、方法等紧密联系的。比如，平均分的教学，通常都会从“结果”来看——是不是分得同样多了。事实上，如果从原初的“一共”开始，然后经历“分”的过程，最后变成“好几份，并且每份同样多”（即“几个几相加”），也就是，从“一共”到“几个几”的过程看成平均分，那平均分就具有“过程”意义。这种过程意义，不仅跟除法算式的写法有直接的联系，而且反过来从“几个几”变成“一共”就是乘法，由此学生也很容易理解“除法是乘法的逆运算”的原理了。再比如，学习加法，不仅要结合具体的情境和故事理解加法是一个过程，而且要让学生用同一道加法算式讲出更多的不一样的生活故事，从中感受每一个加法算式所具有的“模型”意义，而这正是模型思想在小学一年级教学中的极好体现。

第三，基于儿童自己的理解和表达来教学。数学是很严谨的科学，但是数学学习有时需要将严谨的数学用生动的方式表达出来，正如乌申斯基所说：“儿童是用形式、声音、色彩和感觉来思维的。直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一种情绪色彩。如果不形成发达的、丰富的情绪记忆，就谈不上童年时期的完满的智力发展。”在教学“轴对称”时，与其死命地抱住“沿着一条直线对折，图形两边能完成重合叫做轴对称图形”，还不如让学生做一个“白纸压画”的实验（在白纸上滴一滴墨水，然后沿着墨水处将白纸对折，然后用手在墨水处压一压，再打开白纸，就看到一个怪模怪样但是轴对称的图形），并让学生试着讲述白纸上压出来的墨水画的特征，从中更好地感悟和理解“轴对称”的含义。有时我们也可以让学生动手“画数学”，用自己喜欢的方式表达对数学的理解，比如学习“角”之后，画一个人两腿并拢，手臂伸平，表示“直角”；学完乘法后，将3×2=6画成两个人在喝咖啡，一共有3组。这种生动的、直观的方式，虽然不很严谨，但都直通“轴对称”“直角”“乘法”的本质要义。用直观表达抽象，用感性触摸理性，是小学数学概念教学非常值得倡导和研究的。

总的说来，向学科本身回归，更好地发掘数学的学科价值，培育学生的数学核心素养，是当前数学学科教学改革的重要方向。对数学学习具有举足轻重作用的概念教学，只有更好地挖掘和解读其蕴含的数学意义，并通过这种意义的表达，让学生更好地懂数学、爱数学，数学教学才会迸发出更强大的生命力。