导函数零点不易求问题的有效对策

☉江苏省沭阳高级中学 丁银凯

导函数零点不易求问题的有效对策

☉江苏省沭阳高级中学 丁银凯

利用导数求函数的极值、最值、证明不等式问题是高考常考题型，问题求解的前提是先判断函数的单调性，而求导后求导函数的零点又是其中关键的一步，但某些导函数的零点不易求，或在我们目前所学知识范围内无法求.这时就需要我们转换策略，将问题进行等价转化.本文就其中所涉及的转化策略，引例分析，供参考.

例1（2016年北京一模）设函数f（x）＝xlnx.

（1）求证：f（x）≥x-1；

（2）若（fx）≥ax2+（a≠0）在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值.

解析：（1）略.

（2）要使xlnx≥ax2+在区间在（0，+∞）上恒成立.

直接思维：构造函数g（x）＝xlnx-ax2-，即求函数g（x）在区间（0，+∞）内的最小值.求导得g′（x）＝lnx+1-2ax，但此函数的零点不易求得，解题思维中断.

转化思维：因为x∈（0，+∞），将不等式xlnx≥ax2+两边同时除以x得lnx≥ax+，进而将问题转化为h（x）＝lnx-ax-≥0在（0，+∞）上恒成立.

min

所以-e3≤a＜0，得到a的最小值为-e3.

点评：通过等价转化，将lnx从函数中独立出来，是本题顺利求解的关键.若分离过程中x的正、负不确定，应对转化后得到的不等式的不等号是否改变进行讨论.当然针对不同的问题转化的方法也不尽相同，下面就其中所涉及的其他方法举例说明.

一、函数分离

设（fx）＝ex--1，x∈［0，+∞），求导得f′（x）＝ex-）.设g（x）＝ex-x-1，则g′（x）＝ex-1.令g′（x）＝0，得x＝0.

x（-∞，0）0（0，+∞）g′（x）-0+ g（x）↘0↗

由上表可知，当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＝0时，g（x）min＝g（0）＝0.

所以x∈（0，+∞）时，ex-x-1＞0恒成立.

二、参数分离

例3已知函数f（x）＝（2ax-x2）eax，其中a为常数，且a≥0.

（1）若a＝1，求函数f（x）的极值点；

解析：（1）略.

（2）求导得f′（x）＝［-ax2+（2a2-2）x+2a］eax，由函数f（x）在区间（，2）上单调递减，可知f′（x）≤0对任意x∈（，2）恒成立.

当a＝0时，f′（x）＝-2x，显然f′（x）≤0对任意x∈（，2）恒成立；当a＞0时，f（′x）≤0等价于ax2-（2a2-2）x-2a≥0，因为x∈（，2），不等式ax2-（2a2-2）x-2a≥0等价于，令g（x）＝x-，x∈［，2］，则g′（x）＝1+，在［，2］上显然有g（′x）＞0恒成立，所以函数g（x）在［，2］上单调递增，所以g（x）在［，2］上的最小值为g（）＝0.

综合上述，实数a的取值范围为0≤a≤1.

点评：分离参数法是解决不等式恒成立问题的常用方法，通过参数分离，将函数具体化，进而易求出函数的最值.但参数分离的过程中，并不局限于参数的单独分享，也可将含参式整体分离.如本题求解中就是将参数式进行整体分离.

三、重复求导

例4设a为实数，函数f（x）＝ex-2x+2a，x∈R.

（1）略；

（2）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2ax+1.

解析：（2）令g（x）＝ex-x2+2ax-1，只需证明：当a＞ln2-1且x＞0时，g（x）＞0.g′（x）＝ex-2x+2a，令h（x）＝ex-2x+2a，则h′（x）＝ex-2，令h′（x）＝0，得x＝ln2.

当x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞ln2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增.故h（x）＞h（ln2）＝2-2ln2+2a＞0，所以g′（x）＞0，即函数y＝g（x）在R上单调递增，所以当a＞ln2-1且x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，即ex＞x2-2ax+1.

点评：此类导函数零点不可求，故将问题转化为证明该导函数在定义域上恒正或恒负，所以可以通过二次求导的办法求出导函数的最值，判断导函数的符号后得到原函数的单调性.

四、主元变更

例5已知函数f（x）＝ex-ln（x+a）.当a≤2时，证明f（x）＞0.

分析：要证明f（x）＞0，只要研究f（x）＝ex-ln（x+a），x∈（-a，+∞）的最值即可，对f（x）求导后，导数符号不容易判断.但是若把a看成主元，则g（a）＝ex-ln（x+a），a∈（-∞，2］，很容易判断g（a）为减函数，进而求其最小值.

证明：令g（a）＝ex-ln（x+a），a∈（-∞，2］，g′（a）＝＜0，所以g（a）在（-∞，2］内为减函数，所以f（x）≥g（a）min＝ex-ln（x+2），只要再证明ex-ln（x+2）＞0即可.

由h′（x0）＝0，即，从而h（x）≥

综上所述，当a≤2时，f（x）＞0恒成立

点评：本题若直接对函数求导，不易求出导函数零点，通过主元变更，改变求解视角，使问题的求解柳暗花明.F