类比旧知探新知，实践“单元教学”——以“一元一次不等式”起始课教学为例

☉江苏泰州市姜堰区实验初级中学黄华

类比旧知探新知，实践“单元教学”——以“一元一次不等式”起始课教学为例

☉江苏泰州市姜堰区实验初级中学黄华

近读《中学数学》（初中版），不少课例都在践行专家教师李庾南老师的“单元教学”思想，对很多课例的大胆取舍、精巧设计令人叹服.于是在最近一次教学研讨活动中，笔者有机会执教一元一次不等式的教研课，决定丢开教材，基于自己多年来对一元一次不等式全章的理解和教学经验，尝试了一次“单元教学”，得到了听课老师的一致好评.本文先呈现该课的教学设计，并跟进阐释相关教学立意，供研讨.

一、“一元一次不等式”起始课教学设计

（一）生活情境，引入新课

出示一组生活情境.

问题1：从图片中我们看到姚明的个头要比拜纳姆高，若用a表示姚明的身高，拜纳姆的身高用b表示，则a与b的关系可表示为__________.

问题2：据报道，神舟七号载人航天飞行取得圆满成功.这一成功将给我国带来1000多亿元的经济效应，超过了“神舟七号”工程的总投资的40倍.你知道“神舟七号”工程的总投资最多是多少亿元？若设“神舟七号”工程的总投资为x亿元，则上述关系可用式子表示为：__________.

问题3：苏通大桥是当今世界跨径最大的斜拉桥，总投资86亿元.在其经营期内，收回投资不成问题.在其正式通车前的试运行期内，已获得2亿多元的旅游及其他收入.据预测，通车后苏通大桥的年纯收入约7亿多元，那么，通车后至少要多少年才能收回全部投资开始盈利？若设x年后收回全部投资开始盈利，则可得：_________.

预设：学生可以列出不等式a＞b，1000＞40x（40x＜1000），7x+2≥86.

追问1：上述式子是等式吗？为什么？

追问2：你能不能类比“等式”给这些式子一个名称？（不等式）

追问3：根据你的理解，什么样的式子叫作不等式？（引导学生说出“用不等号连接表示不相等关系的式子，叫作不等式）

设计意图：学生类比等式定义给出不等式的定义，并引导学生基于类比的方法探索新知.（板书课题：不等式及其性质）

（二）师生互动，探究新知

活动1：类比一元一次方程的定义给一元一次不等式下定义

观察两个不等式：40x＜1000，7x+2≥86.

问题：它们有什么共同的特点？

活动2：类比一元一次方程的解的定义，给一元一次不等式的解与解集下定义

（1）你能检验x=24及x=25是否为方程40x=1000的解吗？

追问：为什么x=25是？什么叫“方程的解”？引导学生说出：使方程成立的未知数的值是方程的解.

（2）已知数值：22、23、24、24.9、25、25.1、28、30.判断：上述数值，哪些使不等式40x＜1000成立，哪些使之不成立？

追问1：类比方程的解的定义，x=25.1是否为不等式40x＜100的解？对照方程解的定义，你能说说什么是不等式的解吗？

追问2：你能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？

追问3：x在什么范围内时，不等式40x＜1000总成立？不成立呢？

预设定义：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.

预设讲评：不等式的解集必须满足两个条件：

（1）解集中的任何一个数值都使不等式成立；

（2）解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.

活动3：数形结合描述解集

首先将40x＜1000的解集表示成x＜25，然后可以在数轴上直观地表示出来（略）.

（三）解简单的不等式

过渡：研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫作解不等式.

题1：下列说法正确的是（）.

A.x=3是2x＞1的解集

B.x=3不是2x＞1的解

C.x=3是2x＞1的唯一解

D.x=3是2x＞1的解

题2：下列数值哪些是不等式x+3＞6的解？哪些不是？

-4、-2.5、0、1、2.5、3、3.2、4.8、8、12.

（四）类比等式的性质探究不等式的性质

过渡：世界上很多重大的发现都是从猜想开始的，根据你的猜想解一解下列不等式.

预设追问：

（1）你是怎样想到这么解的？

（2）这样解得到的不等式的解集对吗？验证一下！

预设互动：如学生解错了（4），追问你对不等式的性质迁移有什么发现，正确的解集是什么；如学生将（4）解正确了，则让学生比较（3）（4），你发现了什么？

（3）你对等式的性质迁移到不等式又有什么猜想？

预设解答：

性质1：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

追问：这样的猜想对吗？（引导学生对具体的数字不等式进行分类验证）

设计意图：由学生归纳等式性质与不等式性质的区别和联系.通过类比发现二者的相同点和不同点，把知识系统化，提高思维的深刻性.适时地再次突出重点，突破性质3这个难点，为正确应用性质打好基础.

③-3a__________-3b.（不等式性质_____）

④2a-5_________2b-5.（不等式性质_____）

⑤-5a+2_________-5b+2.（不等式性质_____）

挑战练习：解不等式并在数轴上表示解集：（1）7x+ 2≤86；（2）4-2（x-3）＜4（x+1）.

预设互动：安排两个学生上台板演后追问：利用不等式的性质解不等式与解方程有什么共同点和不同点？

跟踪练习：某次地震后，某部队火速从距重灾区45千米的机场出发，计划1小时内赶到灾区.行进了20分钟，中途由于道路出现泥石流，官兵下车抢修道路，用了10分钟，在剩下的路途中，至少以怎样的速度行进，才能在规定时间前赶到？

（五）跟踪训练，巩固新知

题1：判断正误

①由2＜4，可得2×3＜4×3.（）

②由2＜4，可得2a＜4a.（）

③由2x＞-4，可得x＞-2.（）

④由-2x＞4，可得x＞-2.（）

题2：已知a＜b，用“＞”或“＜”填空，并填写理由.

①a-3_____b-3.（不等式性质_____）

（六）小结归纳，布置作业（略）

二、教学立意的进一步阐释

以上整理了一元一次不等式单元教学的起始课教学设计，特别是各个教学环节、活动下面都预设了详细的讲评互动、追问预设等，为了进一步说明教学立意，以下再围绕“单元教学”的操作要义给出三点阐释.

1.单元教学起始课需要深刻理解整个单元的重、难点

由于单元教学起始课的教学内容常常涵盖整个单元的大部分教学内容，包括新的概念、性质、方法，重要的例、习题类型等，这时预设单元教学起始课前需要深刻理解整个单元的所有重点、难点，这样才能在起始课上实施必要的“有的放矢”，也才可能在起始课教学进程中，面对学生不同的“生成”做到精准点评、大胆搁置.比如在上文教学环节（三）中，只能安排解几道简单的不等式，初步理解解法、懂得不等式的解与解集的概念，因为系统研究一元一次不等式的解法尚待后续课时继续探究.

2.单元教学起始课需要激活学生已有经验或研究方法

对于一元一次不等式来说，它的知识生长点是等式性质和一元一次方程，无论是通过等式性质类比不等式性质，还是一元一次方程的概念、解法可以迁移到一元一次不等式中来，这些新知探究出来的方法靠的都是类比猜想、归纳概括，所以课堂驾驭时就需要通过引导学生回顾已有经验、已熟悉的研究路径或套路继续研究新的内容.一方面可以探究出本课新知，另一方面也使得学生研究套路意识进一步强化.

3.单元教学起始课后需要跟进必要的习题训练

由于单元教学起始课往往是新的定义、概念、性质超过传统意义的新知概念第1课时，这样的课堂教学必然会挤占必要的例、习题训练的时间，这就需要在单元教学起始课后跟进必要的习题课，习题课的重点在于选题与互动式的讲评.比如选题的典型性，由浅及深的变式拓展设计，讲评后跟进的变式再测或听课检测，都是巩固新知的必要手段.

三、写在最后

当前数学素养成为数学教育研究的一项重要课题，特别是近两年来，核心素养成为基础教育中的热点问题.但是，什么是数学素养，哪些是数学素养的核心和关键，研究者们还没有形成统一的认识，这也造成了教师实践中的困惑和问题.我们基于专家教师的“单元教学”实践智慧，贴近学生实际、大胆整合教材，开展的单元教学起始课研究，试图向学生传递数学的整体观、研究数学新问题的套路意识等，是不是也可看成是培养数学核心素养的案例研究呢？

1.汤志良.步步有据：推导幂的运算性质——李庾南老师“幂的运算性质”课例赏析［J］.中学数学（下），2015（5）.

2.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

3.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.仇锦华.从数学整体观看单元教学［J］.中学数学教学参考（中），2015（11）.Z