求圆锥曲线中心离心率的取值范围的方法

肖重明

摘 要：离心率是圆锥曲线的一个特别重要的知识点，求解圆锥曲线离心率的取值范围，是平面解析几何中的重难点，其自然会成为高考考查的重点。就求解圆锥曲线离心率取值范围提出一些方法见解。

关键词：圆锥曲线；离心率；取值范围；不等式

求椭圆和双曲线离心率的取值范围，关键就在于由已知和潜在条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个不等式，再化简为形式，就可以从中求出离心率范围，关键就在于构建不等式。

一、利用点与圆锥曲线的关系构建不等式

可以充分考虑点和圆锥曲线的关系，利用向量、坐标法或其他方法进行不等式的构建解析。如例题1：有椭圆 +y2=1，n>0，在这个椭圆上有两个关于直线x+y=1的对称点A，B。求椭圆的离心率取值范围。此题可用点差法求出线段AB的中点G坐标（用n表示），G点定在椭圆内，根据椭圆内部点坐标遵循不等式 +y2<1，求出n的取值范围，因为e2=1- ，再把n的取值范围带入，再结合椭圆离心率大于0、小于1的特性综合求出e的取值范围。

二、利用直线和圆锥曲线的关系条件

部分求解圆锥曲线离心率的题目中，是以直线与圆锥曲线位置设置问题条件的，那就利用这个关系，再结合代数知识构建不等式求解离心率范围。例如命题者普遍会将双曲线同直线交点个数问题作为限制条件，让求解离心率。因为存在交点，就可以整合直线方程和双曲线方程构造新的一元二次方程，转化成该方程根个数的问题，据此分情况列出不等式求离心率。

三、结合其他知识块构建不等式

在求解离心率的过程中不能只局限与圆锥曲线的知识，还要结合其他知识模块，找到解题思路，通常运用较多的知识模块有二元一次方程、均值不等式、三角形三边关系等，其中均值不等式多结合余弦定理使用。

四、利用圆锥曲线自身性质构建不等式

充分理解圆锥曲线的性质对其离心率范围的求解大有好处，比如双曲线的焦半径取值范围、椭圆上的点与两焦点连线间夹角最大时，这个点在椭圆的短端点上。例如题目：椭圆（a>b>0）上存在点P使得其与两个焦点连线夹角∠F1PF2为120°，求离心率e的取值范围。根据椭圆上的点与两焦点连线间夹角最大时，这个点在椭圆的短端点上的性质，只要保证∠OBF2≥60°即可，即sin∠OBF2=≥ ，e的范围也就可以求出来了。

参考文献：

张利平.揭秘高考圆锥曲线离心率的几种常规求法[J].数学学习与研究，2015（09）.

编辑 谢尾合