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浅谈椭圆离心率的求法

2017-03-27徐学海

数学学习与研究 2017年1期
关键词:一题多解等式

徐学海

【摘要】在解析几何中,有一类题型:关于如何求椭圆的离心率,一直以来困扰着广大考生,很多考生内心都明白,欲求此题,则必先根据题意找出a与c的关系式.可难点在于如何有效地找出这样的等式,为此,笔者通过下面例题,采用一题多解的方法来浅谈如何求椭圆的离心率.

【关键词】离心率;一题多解;等式

例如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A,B,右焦点为F,点P在椭圆C上,且OP⊥AF.若延长AF交椭圆C于点Q,若直线OP的斜率是直线BQ斜率的2倍,求椭圆C的离心率.

解法一(直线与椭圆相交,联立方程组,利用韦达定理来求解)∵A(0,b),F(c,0),∴kAF=-bc.∵OP⊥AF,∴kOP=cb.

AF直线方程:y=-bc(x-c).设Q(x1,y1),

由y=-bc(x-c),x2a2+y2b2=1,

化简得(b2c2+a2b2)x2-2a2b2cx=0,Δ>0.

∴x1+xA=2a2ca2+c2,∴x1=2a2ca2+c2,∴y1=(c2-a2)ba2+c2.

∴Q2a2ca2+c2,(c2-a2)ba2+c2.

∴kQB=2bc22a2c=bca2.

∵kOP=2kBQ,∴cb=2bca2,即b2a2=12.

由題意可知,e∈(0,1),故e=1-b2a2=22.

解法二(结合本题,利用结论kAQ·kBQ=-b2a2来求解本题)由kOP=cb,

设Q(x1,y1)在椭圆上,且满足x12a2+y12b2=1.

A(0,b),B(0,-b),kAQ=y1-bx1,kBQ=y1+bx1.

∴kAQ·kBQ=y12-b2x12=b21-x12a2-b2x12=-b2a2.

∵kAQ=-bc,∴kBQ=bca2.

∵kOP=2kBQ,∴cb=2bca2.即b2a2=12.

由题意可知,e∈(0,1),故e=1-b2a2=22.

解法三(利用直线AQ与直线BQ的交点Q在椭圆C上建立等式求离心率)AQ直线方程:y=-bcx+b.

∵kOP=cb,kOP=2kBQ,∴kBQ=c2b.

故BQ直线方程:y+b=c2bx.

由y=-bcx+b,y=c2bx-b,,解得x=4b2cc2+2b2y=bc2-2b3c2+2b2,

∴Q4b2cc2+2b2,bc2-2b3c2+2b2.

由点Q在椭圆上得16b4c2a2(c2+2b2)2+(c2-2b2)2(c2+2b2)2=1.

化简得a2=2b2,即b2a2=12.

由题意可知,e∈(0,1),故e=1-b2a2=22.

上述三种解法分别从韦达定理、重要结论、点在椭圆上来建立a与c的关系式.综合比较这三种解法,不难看出,第一种解法是通法,但解题步骤过于复杂且计算量大,很多考生不能准确做出答案.第二种解法主要涉及椭圆这部分内容里的一个重要结论,如果考生能记得该结论,相信会很快完成.第三种解法主要是由结论出发,利用点在椭圆上建立等式,但这种解法大部分考生不易想到且化简计算量偏大,仔细比较之后,对于此类题型的求解,笔者有以下三点想法.

(1)一般情况下,通法是关键,这就要求考生在平时的学习中一定要加强常规方法的训练,不要回避一些复杂的计算.

(2)对于高中数学中的一些重要结论,务必要在理解的基础上加强记忆,以备后用!

(3)对于这一类题目的解题策略要勤思考,多动脑,试着从其他角度解决此题.

【参考文献】

[1]李秉德,李定仁.教学论[M].北京:人民教育出版社,1991.

[4]张奠宙,李士.数学教育学导论[M].北京:高等教育出版社,2003.

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