2015年数学高考模拟卷

2015-12-07马茂年

中学教研(数学) 2015年2期

关键词：交点实数斜率

2015年数学高考模拟卷

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.

1.设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则(CUS)∪T等于( )

A.{2，4} B.{4} C.φ D.{1，3，4}

2.已知a，b是2条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A.若a∥b，b⊂α，则a∥α B.若a∥α，b⊂α，则a∥b

C.若a⊥α，b⊥α，则a∥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α

A.10 B.8 C.2 D.0

5.已知直线l:x+y－9=0和圆M:2x2+2y2－8x－8y－1=0，点A在直线l上，B，C为圆M上的2个点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标的取值范围为( )

A.［2，6］ B.［0，6］ C.［1，6］ D.［3，6］

7.如图1，在正三棱柱(底面是正三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱)中，AB=AA1=1，若点P在平面

ABC内运动，使得△AC1P的面积为，则动点P的轨迹是( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

图1

8.(理)已知对于正整数a，存在一个以a为二次项系数的整系数二次三项式，具有2个不相等且小于1

的正根，那么a的最小值为( )

A.1 B.2 C.3 D.5

二、填空题:本大题共7小题，第9题至第12题每小题6分，第13题至第15题每小题4分，共36分.把答案填在题中横线上.

10.图2是一个几何体的三视图，则该几何体是______，其表面积为______.

图2

11.已知－1，4是方程ax2+bx+c=0的2个根，且a＞0，则4a+c=______，的最小值为______.

13.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的正整数n都有，则=______;

若二次函数f(x)=x2+2mx+2m+1的2个不同零点均在(0，1)内，则实数m的取值范围是______.

15.(理)过抛物线y2=4x的焦点作一倾斜角为α、长度不超过8的弦，弦所在的直线与椭圆3x2+2y2=2有公共点，则α的取值范围为______.

(文)已知椭圆C1:，双曲线C2:(其中a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近

线交于点A，B，且C1与该渐近线的2个交点将线段AB三等分，则C2的离心率为______.

三、解答题:本大题共5个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(15分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其面积S满足，且的夹角为θ.

1)求θ的取值范围;

17.(15分)(理)如图3，已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且

AB=AE=1.

1)求异面直线AC，DE所成的角;

2)求二面角A-CE-D的大小;

3)设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥平面ACE?若存在求出点H的位置，若不存在说明理由.

(文)在数列{an}中，a1=1，an+1=2an－n+2(其中n∈N*).

1)求证:数列{an－(n－1)}是等比数列;

2)记数列{an}的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn.

图3

18.(15分)(理)如图4，已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作2条直线l1，l2，它们与椭圆都只有1个公共点，且分别交圆于点M，N.

图4

1)若A(－2，0)，求直线l1，l2的方程.

2)①求证:对于圆上的任一点A，都有l1⊥l2成立;②求△AMN面积的取值范围.

在的平面垂直，且AN=AB=2BM，E，F，P分别是线段NC，AB，MC的中点.

1)求证:EF∥平面MBC;

2)求异面直线AB与ME所成角的余弦值;

3)求四面体PBMF的体积.

图5

19.(15分)(理)已知数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2－2an+1+an=0(其中n∈N*).

1)求数列{an}的通项公式.

(文)已知抛物线x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线上的2个动点，且(其中λ＞0).过点A，B分别作抛物线的切线，设其交点为M.

2)设△ABM的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值.

20.(14分)(理)已知函数f1(x)=e|x－2a+1|，f2(2)=e|x－a|+1(其中x∈R).

1)若a=2，求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈［2，3］上的最小值;

2)若x∈［a，+∞)时，f2(x)≥f1(x)，求a的取值范围;

(文)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=－x2+2x.另一个函数y=g(x)的定义域为［a，b］，值域为，其中a≠b且a≠0，b≠0.在x∈［a，b］上，f(x)=g(x).问:是否存在实数m，使集合{(x，y)|y=g(x)，x∈［a，b］}∩{(x，y)|y=x2+m}恰含有2个元素?

参考答案

1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.(理)D(文)B

16.解1)由题意知，

由式(2)÷式(1)，得

2)当S=3时，由第1)小题可得tanθ=1，即

17.(理)解法11)如图6所示，以A为坐标原点、AD为x轴、AE为y轴、AB为z轴建立坐标系，则A(0，0，0)， D(1，0，0)，E(0，1，0)，C(1，0，1)，从而，于是

因此异面直线AC与DE所成角为60°.

令x=1，得n1=(1，0，－1)，同理可得平面CDE的法向量为n2=(1，1，0)，因此其法向量的夹角为60°，即二面角A-CE-D的大小为60°.

由PH⊥面ACE，得

图6

图7

解法2如图7，把四棱锥E-ABCD补充成一个正方体.1)由AC∥GE，知∠DEG就是AC与DE所成的角.显然

△DEG为正三角形，故∠DEG=60°，即AC与DE所成的角为60°.

2)联结AC，BD交于点O，则DO⊥面ACE.作OM⊥CE于点M，联结DM，则∠OMD就是二面角A-CE-D的平面角，从而

于是∠OMD=60°，

故二面角A-CE-D的大小为60°.

3)存在BE的中点H，使PH⊥平面ACE.PH是△BDE中位线，PH∥BD，而BD⊥面ACE，故PH⊥平面ACE.

(文)1)证明由an+1=2an－n+2得

从而数列{an－(n－1)}是首项为1、且公比为2的等比数列.

2)解由第1)小题得

于是数列{an}的前n项和为

由Δ=0得，k2－1=0.设l1，l2的斜率分别为k1，k2，得k1=－1，k2=1，故直线l1，l2的方程分别为

2)①证明当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l1的斜率不存在，因为l1与椭圆只有1个公共点，所以其方程为当l1的方程为时，此时l1与圆交于点，于是l2的方程为y=1(或y=－1)，显然l1⊥l2.同理可证l1的方程为时，l1⊥l2.

当l1，l2的斜率都存在时，设点A(x0，y0)，且，设经过点A(x0，y0)与椭圆只有1个公共点的直线为

由Δ=0，化简整理得

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆只有1个公共点，所以k1，k2满足上述方程(3)，从而k1k2=－1，即l1⊥l2.

综上所述，l1⊥l2成立.

②解记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则△AMN的面积为

图8

图9

(文)1)证明如图8，取线段MN的中点Q，联结QE，QF.因为QE∥MC，QF∥MB，所以平面QEF∥平面MBC.又因为EF⊂平面QEF，所以EF∥平面MBC.

19.(理)解1)由题意可得

从而数列{an+1－an}是常数列.又a1=8，a4=2，故

解得a2=6，a3=4，于是a2－a1=－2，a3－a2=－2，a4－a3=－2，…，an－an－1=－2，进而

2)由第1)小题可得

则Tn=b1+b2+…+bn=

由Tn为关于n的增函数，故

(文)1)证明由已知条件，得F(0，1)，λ＞0，设(x1， y1)，B(x2，y2).由，即得

联立式(5)和式(6)得y1=λ，，且

2)解由第1)小题知在△ABM中，FM⊥AB，从而

因为|AF|，|BF|分别为点A，B到抛物线准线y=－1的距离，所以

20.(理)解1)因为a=2，且x∈［2，3］，所以

当且仅当x=2时等号成立，故f(x)在［2，3］上的最小值为2e.

2)由题意知，当x∈［a，+∞)时，

即|x－2a+1|≤|x－a|+1恒成立，从而

即2ax≥3a2－2a对x∈［a，+∞)恒成立.由

得所求a的取值范围是0≤a≤2.

3)记h1(x)=|x－(2a－1)|，h2(x)=|x－a|+1，则h1(x)，h2(x)的图像分别是以(2a－1，0)和(a，1)为顶点、开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1.

②当a＜1时，可知2a－1＜a，从而

1°当h1(1)≤h2(1)，得|a－1|≤1，即0≤a＜1时，g(x)在x∈［1，6］上的最小值为f1(1)=e2－2a;

2°当h1(1)＞h2(1)，得|a－1|＞1，即a＜0时，g(x)在x∈［1，6］上的最小值为f2(1)=e2－a.

1°当h1(6)≤1，得|2a－7|≤1，即时，g(x)在x∈［1，6］上的最小值为f1(6)=e2a－7;

2°当h1(6)＞1且a≤6时，即4＜a≤6，g(x)在x∈［1，6］上的最小值为f2(a)=e1=e;

3°当a＞6时，因为h1(6)=2a－7＞a－5=h2(6)，所以g(x)在x∈［1，6］上的最小值为f2(6)=ea－5.

综上所述，函数g(x)在x∈［1，6］上的最小值为

(文)解由题意得奇函数y=f(x)在x＜0时的解析式为f(x)=x2+2x，从而

可见a，b同号，也就是说y=g(x)，x∈［a，b］的图像在第一或第三象限内.根据f(x)=g(x)，x∈［a，b］以及f(x)的图像可知，函数的图像(如图10所示)是曲线的一部分.由于值域与函数的单调性有关，又与定义域有关.若只考虑0＜a＜b＜2或－2＜a＜b＜0这2种情况，则不能准确地用a，b表示出值域区间的端点，因此要把区间(0，2)，(－2，0)再分细一些，由图10中看出，当a，b＞0时，可考虑以下3种情况:0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2.