高考选择题解题策略

2015-12-07熊丰羽宁波中学浙江宁波315040

中学教研(数学) 2015年2期

●熊丰羽(宁波中学浙江宁波315040)

高考选择题解题策略

●熊丰羽(宁波中学浙江宁波315040)

1 题型解读

选择题是高考的三大题型之一.纵观浙江省近10年数学高考试题，选择题的题量和分值都十分固定，题量占到全卷近，分值占，从这2个比例可以看出选择题的重要性.同时，选择题又是学生考试过程中要过的第一道关，学生对选择题的得分期望往往也大于填空题和解答题.因此，能否解好选择题，往往是高考成功的关键.

解好选择题，除了准确之外，还要求迅速.在高考中，平均每道选择题要在3分钟内解完.完成这个要求对于选择题的前几题来说问题不大，但对最后2道题而言就比较困难.经常有学生在最后2道选择题上花了20分钟甚至更多的时间而导致“超时失分”.因此，解好选择题除了需要扎实的基础功外，还需要一定的策略和技巧.

选择题不同于解答题，它不需要写解答过程，这就允许进行合理地“猜想”.选择题也不同于填空题，它提供了4个选择项，其中必有1个正确答案.因此，在解答选择题时应该突出一个“选”字，可以充分利用题干和选择支提供的信息.一般来说，选择题的解答策略有2种:1)直接法，即从题干出发，探求结果，一般适用于题号在前1～5的题目;2)间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果.间接法中常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、极端分析等等.下面主要就间接法中常见的几种方法分别举例说明之.

2 典题分析

2.1 数形结合

例1设0＜x1＜x2＜π，则的大小关系是( )

A.a＞b B.a＜b

C.a=b D.无法确定

评析数形结合作为一种解题策略，并非为选择题所专有，它是一种广泛应用的数学思想和解题策略.数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”，在选择题中更常见的是前一种策略.运用这种策略的前提是:熟悉常见的函数、方程、不等式所对应的图形.

图1

本题也可以利用特殊值代入，但是由于选项D的存在，用特值法有一定风险.

例2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，

若对任意x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )

分析本题如果直接求解，则十分复杂.可以考虑作出函数y=f(x)的图像，通过比较y=f(x－1)和y=f(x)的图像求解.因为当x≥0时，

所以当0≤x≤a2时，

当a2＜x＜2a2时，

当x≥2a2时，

图2

2.2 特值法

例3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a，b，c，d∈R)的图像如图3所示，则b的取值范围是( )

A.(－∞，0) B.(0，1)

C.(1，2) D.(2，+∞)

分析根据图像，不妨设函数

此时a=1，b=－3，c=2，d=0.故选A.

评析这类题目如果脚踏实地地求解，不仅运算量大，而且极易出错，而利用图像提供的信息，构造特例，既快又准.当然，有时可能构造1个特例只能排除1个或2个选项，此时可以考虑多取几次特值.但要特别注意，所选的特殊值必须满足已知条件.常用的特例有特殊值、特殊函数，特殊数列、特殊图形、特殊点等.特值法一般适用于解答“对某种关系恒成立”、以全称命题形式出现的题目.

图3

例4如图4，在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A).设α，β是2个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ［fα(P)］，Q2=fα［fβ(P)］，恒有PQ1=PQ2，则( )

图4

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°

取特例，令AD1和A1D的交点为P，取2个相邻面ADD1A1和A1B1BA检验选项A可以成立;取2个相对的面AD1DA1和B1C1CB检验选项C显然不成立，面AB1C1D与面AD1DA1所成角为60°，此时若面AB1C1D为α，面AD1DA1为β，则，同理，若另构造一个平面与面ADD1A1所成角为45°，则.故选A.

评析不满足恒成立有2种情况:一是恒不成立，一种是不恒成立.在取特例时要特别注意后面这种情况.本题中检验选项C时，如果取相对面ABCD和A1B1C1D1，则选项C可以成立.因此举特例可以成立不一定就是答案.本题中要解决这个问题，可以将点P取得更平凡一点，比如说线段A1A的四等分点，或者多取几种情况验证.

例5设S，T是2个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:1)T={f(x)|x∈S};2)对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么称这2个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )

A.A=N*，B=N

B.A={x|－1≤x≤3}，B={x|x=－8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1}，B=R

D.A=Z，B=Q

分析本题的背景知识是集合的势，了解高等数学知识，很容易选出答案为D.对学生而言，比较合适的方法是利用题目所提供的条件构造特殊函数，逐一验证.函数f(x)为定义域S上的增函数，值域为T.构造函数f(x)=x－1，x∈N*，则f(x)的值域为N，且为增函数，故选项A正确;构造函数

满足题设条件，故选项B正确;构造函数

满足题设条件，故选项C正确.答案为D.

2.3 排除法

例6设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

分析本题直接做较难，学生往往无从下手，而分析选项后可以发现，4种情况都比较特殊，因此我们可以对每种情况逐一验证排除错误选项.对于选项A，由向量数量积的几何意义可知:，不可能当时最小，同理对选项B，

图5

评析排除法适用于不易直接求解的选择题，特别是条件探索性的题目，即结论已知，让我们探索结论成立的条件.这类题目选择支所给的往往是几种特殊情况，我们可以从特殊情况出发，再结合题目中的条件，进行逐一排除.排除法可以分步进行，即先根据某些条件排除明显不成立的选项，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，直至选出正确答案.排除法也常常与特值法、图像法结合使用.

A.min{|a+b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B.min{|a+b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C.max{|a+b|2，|a－b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2，|a－b|2}≥|a|2+|b|2

分析选项A和B比较容易排除.对于选项A，当a=0，b≠0时，不等式不成立;对于选项B，当a=b≠0时，不等式不成立;对于选项C，D，如图6，设，构造▱OACB，根据平行四边形法则，∠AOB与∠OBC至少有1个大于或等于90°，根据余弦定理知

图6

成立.故选D.

2.4 极端分析法

例8已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y=ax+b(其中a＞0)将△ABC分割为面积相等的2个部分，则b的取值范围是( )

分析可以利用极限位置和特值法.由于a＞0，可以先考虑当a=0时的情况，即直线与边AB平行，易得;考虑另一种极限位置即斜率不存在，CO即所求，如图7，将CO顺时针旋转，与y轴交于点P，与BC，AB分别交于点E，F，则△CEP的面积必须等于△OFP的面积.由面积公式可知，点P的纵坐标必须小于，因此答案为B.