促进学生算理理解的策略探索

马理

数的运算是小学数学教学中的重要内容之一。从小学数学课程的实际来看，整数、小数、分数的运算始终是学习的主线，其他数学知识都必须跟随着这根主线穿插、展开。学生对运算算理理解的意义毋庸置疑，算理理解是算法掌握的基础，帮助学生记忆算法，完善数学知识结构，进而更容易地同化顺应新的运算知识，算理理解是运算教学一个良性的学习过程。运算的算理只有被深刻理解了，学生才能真正掌握运算知识的本质，运算才能正确、熟练。本文笔者就结合教学实践来谈一谈促进学生运算算理理解的几点策略。

一、立足学习起点，回归知识本源，促进运算算理的经验性理解

（一）理一理，明确算理理解的实际起点

学习是建立在学生已有的知识和经验上的。也就是说，新知识的学习必须要找到学生现有知识的生长点，在此基础上生成新的知识和经验，算理教学亦是如此。

四年级 “小数加法和减法”一课，内容看似简单，只要学生知道了“小数点对齐”这一规则，再反复巩固即可，但在以往实际教学中，笔者发现经过反复操练，学生仍然会出现末位对齐的错误。看来，即便是简单计算，缺少了对学生已有的知识和经验的对接，就不能实现真正的理解。于是，笔者在教学前先对学生的已有知识进行了整理，而后进行了教学设计。

【案例】小数加法和减法

小数加、减法的教学，先通过整数加、减法“475+2”引入，引导学生思考：2与谁相加？2为什么非得与5相加？让学生回忆 “相同数位对齐才能相加、减”。接着将题改为“4.75+0.2”，请学生算算这道小数加法，争议得数是“4.77”还是“4.95”。引导思考：你有什么办法证明得数是“4.95”呢？学生有的通过添单位“元”或者“米”进行考虑，有的通过小数的基本性质，在0.2末尾添上0，改变0.2的计数单位来说明，还有的认为相同数位上的数才能相加，所以十分位上的“2”和十分位上的“7”相加。对小数加法的算理进行了多元诠释后，再对比“475+2”和“4.75+0.2”的竖式，引导思考：“475+2”的2和5 对齐，也就是末位对齐，“4.75+0.2”是小数点对齐，这两种方法看上去不一样，内在的道理是不是一样呢？

在小数加、减法之前，学生有四年的整数加、减法的学习，对“末位对齐”这一技巧已经非常娴熟，对整数中“相同数位对齐才能相加减”也有了一定的认识。但同时 “末位对齐”也会对学生学习新知带来负迁移。在教学中需要选择合适的例子与原有的“相同数位对齐才能相加减”进行对接。上例中立足于学生的整数加法的起点，把整数加、减法中“末位对齐”的算法，规整到小数加、减法“小数点对齐”中，对比理解两者本质上都是相同数位上的数相加、减，给小数加、减法的算理建构找到合适的生长点。

（二） 退一步，回到算理理解的知识本源

数的概念、运算意义、运算法则、运算性质、运算定律等是算理理解的知识本源。如：整数加、减法的知识本源是加、减法的意义，以及数的概念;小数加、减法和乘除法的知识本源是对小数的意义的认识，分数加、减法的知识本源是对分数的意义的认识，四则混合运算的知识本源是运算意义 、运算性质、运算定律等等。在计算教学中，退一步，回到算理理解的知识本源往往能让算理理解更加深刻。

在“同分母分数的加、减法”的教学中，上课教师对同分母分数的加、减法的教学就从“整数单位”和“分数单位”的概念引出的，将教学的精力放在对知识本源的追踪上。

【案例】同分母分数的加、减法

出示问题情境：

第一个：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……

1分米、2分米、3分米、4分米……

在上面的两行数据中每次挑出两个，组成一个加法算式。请你写出几个有代表性的算式，并计算出它们的结果。

第二个：，，，，，，，，，……

，，，，，，，，，……

在上面的两行数中每次挑出两个，组成一个加法算式。请你写出几个有代表性的算式，并计算出它们的结果。

对于五年级的学生来说，计算类似3厘米加2厘米的问题，似乎起点太低了，但正因为有了3厘米加2厘米的理解，学生对+的理解顺理成章，其间教师没有任何提示，但学生通过两个问题的解决，自主感悟到单位相同的可以相加、减，单位不同必须转化成相同单位后才能相加、减，同分母就是同单位，对同分母加、减法的算理理解也水到渠成。

二、借助“表象”支撑，注重多元表征，促进运算算理的形式化理解

运算的算理从一定意义上说是抽象的、理性的。根据小学生的年龄特点、生活经历出发，借助“表象”支撑，在直观中理解算理，是非常必要的。

（一）借助直观支撑理解算理

合理运用学具、教具、多媒体，进行直观操作演示，是算理探究过程中教师常用的策略。

【案例】 除数是整十数的笔算

除数是整十数的除法，学生在已有的除数是一位数除法的基础上，往往会出现以下错误：

出现以上错误的原因是学生受到除数是一位数除法笔算的负迁移，虽然是140÷30，但其实学生脑中思考的仍然是140÷3，怎样让学生理解除以30后商4的定位、竖式表达的意思，教师可以尝试使用小棒图和方块图来突破除数是整十数的笔算算理的理解。

例1：92÷30=

例：1：  92÷30 =

例2：140÷30 =

除数是整十数的除法，商的位置是个难点，请学生尝试着列出竖式，并借助圈一圈，说明商是几，商4写在哪一位上。学生有了直观图的支撑，容易理解竖式中每一个数的含义。类似的教学还有，除数是一位数的笔算，小数加、减法等，初始课看似十分简单但进入后期学习却容易出错，在这类重点起始课中强化算理的直观演示，以求为运算方法的建构建立明确的表象，将能很好地帮助学生积累经验。

（二）借助情境支撑理解算理

运算方法的建构以具体情境为背景时，往往可以化抽象为直观，帮助学生理解算理主动建构算法。

【案例】除数是两位数除法（试商、调商）

1.创设问题情境

153元买同一款魔方，可以买几个？怎样列式？

2.学生尝试解决“153÷21=”

反馈，引导 思考

（1）你是怎样试商的？在试商时发现了什么？

（2）结合情境说说为什么会出现这样的情况。

3. 学生尝试解决“153÷32= 、153÷38=”

反馈，引导思考

（1）你是怎样试商的？在试商时发现了什么？

（2）结合情境说说为什么会出现这样的情况。

（3）对比153÷21= 、153÷32= 有什么共同的特点？为什么初商会大？

（4）对比153÷32= 、153÷38= 有什么不同的特点？为什么除数都是三十几，“153÷32” 初商会大？“153÷38” 初商会小？

将除数 “四舍五入”是最基本的试商方法，但“四舍”法初商会偏大，“五入”法初商会偏小。如果让学生死记硬背，往往适得其反。通过购物这一情境可以帮助学生更好地理解调商的过程。 “153÷32”因为将单价看成30元，所以实际购买5个魔方用的钱数就从160元变成了150元，实际钱数153元小于160元，不够买5个只能买4个，所以要调商成4。通过两组算式 “153÷21= 、153÷32=”、“153÷32= 、153÷38=” 的对比，更能让学生感受到调商的原因。

（三）数形结合支撑算理理解

数形结合就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。在计算中，应用数轴、平面几何图形或立体几何图形，使数的大小以形的大小来呈现，数与数之间的运算关系以形的组合来表达，能使数的计算算理更直观化。

【案例】异分母分数加减法

人教版教材中的异分母分数加减法

浙教版教材中的异分母分数加减法

两本教材均是选用了图形来帮助学生理解异分母分数加、减法的算理，借助对圆形的折、分，学生很容易理解异分母分数加、减法的关键是“单位”的统一。

在高年级分数四则运算的教学中，教师可以借助几何图形来说明分数四则运算的算理，而整数加、减法中的“形”往往是学生自己创设的符号。也就是说，这里的“形”可以是学生自己创设的符号，可以是几何图形，可以是线段图，还可以是数轴。借助形的几何直观性来阐明算理不仅可以使抽象的数学计算算理直观化，而且有利于学生抽象思维和形象思维的协调发展。

三、沟通知识脉络，突出内涵本质，促进运算算理的结构化理解

通过问题和情境的创设，借助直观建立“表象”，帮助学生摆脱经验中的非本质认识。在这一基础上，教师还应该通过与其他知识比较、分类、分层，从而找到知识间的相同点、不同点以及层次关系，沟通知识的脉络，达成学生算理理解的精细化，实现形式化理解向结构化理解的转化。

（一）展示思路，对比沟通，实现算法和算理融合

1.展示思路

在算理理解中，教师要引导学生通过观察、对比、辨析，在群体的交流对话中，展示思路、感悟算法。

【案例】十几减9退位减法

根据问题“有15个气球，卖了9个，还剩几个？”列出算式“15-9”，引导思考：你能用什么方法解决这个问题呢？要求先独立思考，再同桌交流，学生可以借助摆小棒来说明。教师将学生不同计算方法书写在黑板上。

方法一：借助小棒摆一摆从15根小棒中拿去9根得到6根。

方法二：想加做减法   想9+（ 6 ）=15   所以15-9=6

方法三：破十法

方法四：连续减

四种方法的算法显示出学生不同的思维，数小棒得出结果是利用了减法的意义，“相加做减法”是根据加、减法的关系，“破十法”和“连续减”利用了数的组成顺向思维，在这四种方法中，“破十法”和“连续减”的交流是重点，且这两种方法对于一年级的学生来说比较难理解，教学中需要通过图例来辅助理解算理。“破十法”是退位减法竖式算理的基础，是最有价值的，因此，教师还需通过多媒体演示来突破“破十”难点。借助典型的探究材料，引导学生展示不同的算法，在展示中充分交流，理解不同算法的算理，在对比中为建构退位减法的算理打下基础。

2.沟通反思

课堂中教师要适时引导学生将新学运算与相关运算比较，找到相同与不同，并用数学语言规范表述，实现算法和算理的融合，不断地将理解引入更高层次。

如：小数乘法单元，教学“小数乘整数”时，可以和“整数乘法”算法对比;教学“小数乘小数”时，又可以和“小数乘整数”对比，从而引导学生感受“小数乘法”小数点的位置问题。小数除法单元，教学“小数除小数”时与“小数除以整数”对比，在知识整理的过程中，“小数除法”还要和“小数乘法”对比。从一定意义上说，学生对运算的理解和掌握是在不断的比较中逐步建构的。教师应该抓住机会适时联系沟通知识点之间关系，实现算法和算理融合。

（二）选择针对性学习材料，增进知识内涵的理解

要实现对算理的巩固、应用和转化，离不开一定量的计算练习。但不是所有的练习都能够有效地促进学生对算理的理解，过多繁杂、低效的计算练习反而会引起学生的反感。因此，笔者认为应突出以下两种练习。

1.突出基本算理的练习

在学生初学运算方法时，设计突出算理理解的基本练习，对学生进一步理解算理是不可缺少的。

【案例】多位数乘一位数的基本算理练习

多位数乘一位数的算理是建立在数意义和计算意义的理解上的，所以笔者认为还可以增加加法和乘法的转化练习进一步感悟算理。

2.深化算理理解的练习

选择安排合适练习材料，让学生通过观察、猜测、比较，可以不断地深化对计算算理的理解，在培养学生的数感同时，也达到灵活计算的目的。

【案例】多位数乘一位数的练习

1.算一算、比一比。你有什么发现？

25×4=               16×5=               14×5=

24×5=               15×6=              ; 15×4=

2. 先计算，再比较大小

反馈引导：比较说说上面每组“双胞胎”算式哪部分积是相等的。想一想两个算式积的大小取决于哪两个数相乘的结果呢？

3. 在○里填上“>”“<”或“=”

12×3○21×3      26×5○25×6      38×7○78×3

12×7○7×12         38×2○38+39         114 ×6○116×7

以上各题以“积的大小比较”为主线，着重考察学生对多位数乘一位数的算理理解，能力核心是运用对比思维来思考数与数、算式与算式之间的关系。引导学生分析、比较，使得学生的思维更加丰富、更加精细，有利于学生对算理的深度认知。

四、明暗结合，凸显思想方法，促进运算算理的文化性理解

学生学习运算不仅是为了获得技能，更重要的是发展数学思维、掌握数学思想方法。理解性学习的最高层级是文化性理解，笔者认为就是指在数学教学中渗透数学的思考方法，从而使学生能用数学的眼光来看待周围事物，将数学的思考方法应用于解决生活实际问题或其他学科的学习。在运算教学中的数学思想方法主要有化归思想、类比思想、数形结合思想、归纳思想、模型思想、推理思想等。如果说知识技能的教学是“明线”，那么数学思想方法应该是每一节数学课的“暗线”，追求以“明”促“暗”、明暗结合。

【案例】小数除法的练习课教学片段

1.计算2.76÷0.12

说说你是怎么想的。

生：根据商的变化规律，转化成276÷12，算出商是23，所以2.76÷0.12的商也是23。

师：根据商的变化规律，你能写出其他一些相关的商也是23的算式吗？

2.根据2.76÷0.12=23，写出以下各题的结果

在这个练习中通过题组间的对比深刻理解小数除法算理，以达到灵活计算小数除法的目标，这是教学的“明线”。在练习中引导学生经历运用积、商的变化规律作出正确解答的过程，蕴含着推理、化归等数学思想和方法，这是教学的“暗线”，也是“主线”。

（浙江省杭州市胜蓝实验学校  310004）