积累“找”的经验 提升“找”的能力

吴文娟

有人说“问题是数学的核心，规律是数学的灵魂”。让学生在给定的事物中探求隐藏的规律或变化趋势，可以培养学生观察、分析、综合、归纳和推理等思维能力。还有人说，教学和训练是培养学生发现规律能力的两个重要途径。苏教版数学教材第二学段各册“找规律”单元为培养学生发现规律的能力提供了很好的载体。苏教版数学教材主编王林先生也曾说：找规律单元的重点在“找”上，而不是规律的应用。那在课堂教学中，如何让学生经历“找”规律的过程，不断积累“找”的经验，提升“找”的能力呢？本文笔者就以“搭配的规律”一课的教学为例进行了探索。

一、落实有序思考，初获“找”的门道

师：同学们早餐都喜欢吃些什么？（学生自由交流）如果给你提供汉堡、馒头、蛋糕3种点心，牛奶、豆浆2种饮料，选1种饮料再配1种点心做早餐，你准备怎样搭配？（学生自由回答）

师：看来我们有多种不同的搭配，那一共有多少种不同的搭配呢？猜一猜。

绝大多数学生猜6种。

1.合作验证：是不是6种呢？每个小组拿出老师给你们准备的点心、饮料图片摆一摆，验证一下。

2.汇报交流：学生边汇报搭配的过程，边演示。（先汇报无序搭配的，再汇报有序的）

师提问：他摆得有序吗？是按怎样的顺序摆的？有遗漏吗？

生：他是先依次选点心，再分别配饮料。

师：还可以按怎样的顺序来搭配呢？

学生上台演示另一种顺序的搭配过程。

3.小结：有序搭配，才能做到不遗漏，又不重复。具体怎么做呢？

生：先从点心中选一样，再依次配饮料;或先从饮料中选一种，再依次配点心。

【反思】数学教育的主要任务之一就是培养和发展学生的数学思维能力，而有序思考是良好思维品质的重要标志，也是学生解决许多复杂问题的重要方法。解决搭配问题有两种方法：一一列举或计算，而计算的算理正是建立在有序列举基础上的，学会有序列举也就初步找到了规律。请学生用图片摆一摆，部分学生会“无序”地随意摆，但也有部分学生由于以前积累的“有序”思考的经验会有序地摆出，教师顺势请学生比较“有序”和“无序”两种方法，并观察是否遗漏、是否重复，将学生目光聚焦到“有序”思考。但说“有序”易，做到“有序”难，教师在提问中将“有序”具体化为“是按怎样的顺序摆的？”这个问题将“有序”变得可操作，也让学生体会到“有序”并不空洞，而是确有“门道”的。而在下面的教学中，教师还会再次让学生感受“有序”的思考方法。

二、经历探究过程，优化“找”的途径

请学生收起图片，提问：如果老师没有给你准备实物图片，你会用写写、画画等更简单的方法表示各种不同的搭配吗？试一试。

1.学生独立尝试，教师巡视。

2.交流评价。

（1）教师呈现生1的作业：文字表示

汉堡—牛奶、汉堡—豆浆、馒头—牛奶、馒头—豆浆、蛋糕—牛奶、蛋糕—豆浆

师：他是按怎样的顺序表示的呢？

生：他是先选汉堡，分别配两种饮料，再选馒头，分别配两种饮料，最后选蛋糕，分别配两种饮料。

（2）教师呈现生2的作业：符号表示

A1、A2、B1、B2、C1、C2

师：这里的A，B，C，1，2分别表示什么？你们看得懂吗？

生2补充说明：A，B，C分别表示的是三种点心。1，2表示两种饮料。

师：还有用符号或字母表示的吗？

师：比较两种表示，有什么共同之处呢？你喜欢哪种表示？

生：他们的表示都很有序，都是先选点心再配饮料。但文字写比较麻烦，符号更简洁些。

（3）教师呈现生3的作业：连线表示

汉堡         馒头         蛋糕

牛奶         豆浆

师：你们看得懂吗？这里的每条线表示什么？

生：每条线表示一种搭配方法。

教师随意指几条，请学生说说是谁和谁搭配的。

师：这些线是随便连的吗？我们来采访一下作者。

生：我先将汉堡和下面的牛奶、豆浆连，有2种搭配，再将馒头和下面的牛奶、豆浆连，也有2种搭配，最后将蛋糕和下面的牛奶、豆浆连，也有2种搭配，共6种。

师：原来连线也可以解决这个问题，但连线也一定要有序地连。

师：还可怎样连，也很有序？

生：（边指边说）牛奶依次连上面的三种点心，有3种搭配，再将豆浆依次连上面的三种点心，也有3种搭配。

（4）教师呈现生4的作业：符号连线表示

师：能看懂吗？谁来评价一下。

生：他的方法其实和前一位同学一样，但他用图形表示点心和饮料，更加简便。

3.比较优化

师：我们展示了这么多种方法，你最喜欢用哪种方法来表示？为什么？

生：我最喜欢最后符号连线法。它又简便又清楚。

师：复杂的问题往往可以用简洁的图形表示，“数形结合”是解决问题的重要策略。

【反思】有序操作使学生初步有了“找”的门道，知道该怎样做。但每次找规律不可能都经历摆的过程，而是要让学生的方法逐步由直观向抽象提升，而这个提升的过程，不是由教师直接出示书上的抽象图，而是要让学生充分经历尝试探究、交流分享、比较优化后，形成个体独特的体验，从而找到属于自己的“找”的路径。由于每个学生思维层次的不同，个性化的思考结果为全班交流、讨论、比较提供了很好的素材。展示环节，教师有意识地将学生的作品按思维层次的不同逐一出示，有助于学生看到方法“进化”的过程，明白自己的方法在一系列方法中的位置，使学生的思维能力也随着作品层次的提高而逐步提升。伴随每次展示的讨论、思考、交流使个体的体验相互补充、相互借鉴、相互促进，智慧与智慧碰撞、情感与情感交流、认识与能力提升。最后教师的概括总结给学生点明了一条提升“找规律”能力的途径——数形结合。

三、突出意义理解，抽象“找”的本质

1.算式表示：根据前面的思考，你能用算式表示搭配的总数吗？（3×2=6或2×3=6）

师：你怎么理解算式？

生：第一种点心配两种饮料，有两种方法;第二种点心配饮料也有两种方法;第三种点心配饮料也有两种方法，就是3个2种。

生：还可以这样理解，第一种饮料配三种点心，就是三种方法，第二种饮料配点心也有三种方法，就是2个3种。

2.如果给你3种饮料，现在有多少种搭配方式？想象一下可以怎样连线？怎样列式呢？

生：多了一种饮料，第三种饮料配三种点心也有三种方法，现在是3个3种，就是3×3=9。

3.如果再增加一种点心，有多少种搭配方式？有几个几种？

生：新增的这种点心和三种饮料搭配，可以有3种方法，因此就有4个3种，4×3=12。

4.如果有10种点心、8种饮料，又有多少种不同的搭配呢？（学生有的在连线，有的思考后直接列式。）

生：第一种点心分别与8种饮料配，有8种方法;第二种点心分别与8种饮料配也有8种方法;第三种点心分别与8种饮料配也有8种方法……

有学生抢说：不要说了，就这样有10个8种，所以是10×8=80。

师：有连线连完的吗？为什么不连了？

生：线太多，太麻烦了。

生：只要连第一种点心就好了。

5.出示表格：

点心种数 饮料种数 搭配总方法数

3 2 6

3 3 9

4 3 12

10 8 80

师：现在你能发现隐藏在搭配中的规律究竟是什么了吗？

生：点心种数×饮料种数=搭配总方法数。

生：一种事物的数量×另一种事物的数量=搭配总方法数。

师：你们觉得哪种概括得更好呢？

生：第二种好，生活中还有其他的搭配情况呢。不光是点心和饮料。

师：这就是两种事物搭配的规律。生活中还有哪些搭配现象呢？

生：生活中还有穿衣服和裤子搭配、吃水果和饮料搭配……

【反思】规律本质上属于“构建数学模型”的领域，在小学阶段结论的获得很难通过严格的证明得到，往往是通过不完全归纳获得的，而从半直观、半抽象的图形表示到抽象概括成算式，则更有利于学生在不完全归纳中发现一般性的规律。告知学生怎样列式很简单，就是将一类事物的种数乘另一类事物的种数，但如果不加强对乘法意义的理解，那规律就只是一种死的结果而已。教学中教师设计了增加一种点心，再增加一种饮料的情况，导致搭配总数发生变化，使学生很好地进行方法迁移，借助前面的思考很快想出“几个几”，最后教师一下子将点心和饮料增至10种和8种，两个数据同时变化，且变得比较大，部分学生重新回归画图的策略，但有前面“几个几”的反复理解，大部分学生画了一种点心的搭配就找到了“几个几”。这就显示出算理理解的强大作用。在教学中教师注重算式意义的理解，是希望学生在不断的理解中自觉抽象，在运用中又不断深入理解。

四、适时拓展延伸，提升“找”的价值

在完成穿衣问题、路线问题等基本练习后，教师出示了这样一题：如果有三种点心、两种饮料、三种水果，选一种点心、一种饮料、一种水果搭配成早餐，一共有多少种不同的搭配？

1.猜一猜，一共有多少种？怎么列式？

生：3×2×3=18（种）。

2.为什么这样列式？说说你的想法。

生：先将点心和饮料搭配，3×2=6（种），再将得到的6种分别与三种水果搭配，6×3=18（种）。

师：你由前面已解决的两种事物的搭配种数，再继续进行搭配，这种方法迁移是非常有价值的思考。

3.由此我们想到当三种事物进行搭配时，你发现了什么样的规律？

生：第一种事物的数量×第二种事物的数量×第三种事物的数量=搭配的总方法数。

4.由两种事物的搭配规律，我们推出三种事物的搭配规律，如果是四种、五种、六种……你能找出它们搭配的规律吗？课后请继续思考。

【反思】规律的获得使学生享受到成功的快乐，数学能力得到全面提升，解决问题变得轻而易举。但如果只是停留于此，规律的深刻价值还未得到体现，思维的层次还在浅表，数学经验的获得还不够丰富。基于此，教师又设计问题让学生进一步思考三种物体的搭配，但只是在例题的基础上增加一步。这样，学生能借助前面的经验由此及彼，将思维的重点放在规律的拓展上。当学生通过猜测、逻辑推理形成这类规律的完整认识后，他的经验也得到了螺旋式上升和发展，而这次课所研究的规律价值也得到了提升，就会更进一步激起学生探究的欲望。但规律价值的拓展不是无边界的，一定是处于学生思维的最近发展区，否则，只会让学生苦不堪言。

（江苏省宜兴市第二实验小学   214206）