中学数学思想方法探析

曾艳

[摘 要] 数学思想是数学的精髓，它对解决数学问题具有重要的指导作用。数学思想方法是数学知识、技能和方法的本质体现。数学思想能促进学生思维变通性、广阔性发展，能有效提高学生分析问题和解决问题的能力。课堂教学中教师在要求学生掌握相关数学知识的同时，也要有意识地渗透一些数学思想，以增强学生的数学应用意识。

[关键词] 高中数学；课堂教学；数学思想；渗透

数学思想是数学的精髓，在数学教学中，教师要结合新课程新教材要求，不断创新教学方法，在讲解知识和习题训练中，不断引导学生培养类比、归纳、推理、转换、数形结合等数学思维方法，形成解决数学问题的基本策略，不断提高对渗透思想方法重要性的认识。

一、在构建课堂教学情境中渗透数学思想

中学的数学学习中公式多，概念多，符号多，学生学习时，往往感到吃力、枯燥。用传统的教学模式教学，很难激发学生的学习兴趣。此时，在数学教学中，教师应积极转变教学观念，更新教学模式。新授教学内容需创设一定的教学情境时，若有意识地渗透数学思想，能吸引学生学习的注意力，使学生较快地投入到数学学习中。

著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合千般好，数形分离万事休。”数形结合，直观显现。数形结合的思想主要是构建数与形之间的关系，通过以形助数、以数助形和数形互助的方式，充分地将直观和抽象的知识统一融合，达到灵活解题的目的。向量具有“数”与“形”的双重特征，向量“数”的特征表现在其具有大小、良好的运算特征；向量“形”的特征表现在其具备方向、长度、夹角等特征。平面几何中的许多问题，如平行、垂直、长度、夹角等都可用向量法探析。

在应用向量解决物理问题时，需要将物理问题转化为数学问题，同时用数学模型解释有关的物理现象。平面向量的应用较为广泛，已经成为中学数学知识的一个交会点，同时也是高考考查的一个热点。之后引出“平面向量在平面几何中的应用”，用向量知识解决平面几何中证明线段相等或平行问题，一般是转化为相对应的向量（或它的长度）等来解决。

二、在数学概念解读过程中渗透数学思想

数学的概念多且难于理解，在概念教学中可适时运用数学建模思想来加以解读。建模思想就是通过建立数学模型来解决实际问题的一种思维方法。如，在讲“导数的概念”时，可给予两种模式：一种是变速直线运动的瞬时速度，另一种是非恒定电流的电流强度。对于这里提到的两种不同的模型，如果能抛开其实际的意义，只看数学结构，它们具有相同的形式，同样可以归结为一个数学模型。换言之，就是函数的自变量与改变量之间的比值。当其中的自变量以及改变量都趋向零时，就突破形式的极限，这在数学的定义上为函数的导数。当有了导数的定义之后，前面的两个模型就容易解决，这不仅衍生了导数的概念，也可以让学生发现数学的魅力。

函数和方程是两个最基本的数学概念，两者都是含有未知数的等式，我们可以说它们是同根生的一棵并蒂莲。函数和方程的关系是：所有的函数解析式都是方程，而所有的方程并非都是函数解析式，只有满足函数定义的方程才是函数。基于这种同根性，两者可以互相转化。

三、在数学问题推导过程中渗透数学思想

在实际生活中，普遍存在着利润最大、面积最小、距离最短等最优化问题，常常需要构建相应的函数模型，将待解决的问题纳入模型的范围，并运用函数的有关性质去解决问题。如：某种商品，当商品进货单价为45元时，若按50元一个售出，能卖出50个。如果销售单价每涨一元，销售数量减少2个，为获得最大利润，此商品的最佳销售单价应定为多少元？

设销售单价涨x元，则每个售价为（50+x）元。每个商品的利润为（5+x）元，此时售出（50-2x）个，其利润函数为y=（5+x）（50-2x）=-2（x-10）2+450。此题是构建二次函数模型的数学方法，并求最大值的应用类型，结合“利润=（售价-进价）×销售量”就能推导出最佳销售单价为60元。

四、在数学习题训练过程中渗透数学思想

常见的数学思想有：比较、类比、分类、方程、转化、数形结合、数学建模思想和变与不变等思想。数学思想对解决数学问题，提高解题效率具有明显的指导作用。在平时的数学课堂教学及习题训练中，教师一定要有意识地重视对常用数学思想方法的总结与提炼，并在解题中不断渗透，它们是解题的指导思想，可以提高数学教学及解决数学问题的有效性。

如：求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上函数的单调性。

（1）y=|x-2|；

（2）y=x2-3|x|+1/4。

在对函数的单调性与奇偶性的研究上，恰当运用数形结合思想，能使问题化难为简，达到事半功倍的效果。例题中可将这两个函数的图像画出来，根据图像即可判断函数的单调性和单调区间。在高中数学解题中运用数形结合思想的也比比皆是，“数”与“形”是相互依赖、相互渗透的。数形结合思想是将抽象的数学语言和直观图形结合起来，发挥直观对抽象的支撑作用。在解决“与奇偶性有关的问题”时，运用数形结合思想，可以把抽象的函数关系转化为适当的图形。利用图形的直观性发现函数的奇偶性与单调性之间的关系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。在高中数学解题的过程中，时常会碰到“三角函数”的问题，这些数学问题往往都能利用数形结合的思想进行解答；在初中阶段的“不定式与不等式组”“数据的分析”等问题的训练中，数形结合思想也是常用的思维方式。数形结合思想的探讨主要体现在两个方面：一是“以数解形”，即借助于数的精确性来阐明形的某些属性；二是“以形助数”，即借助形的几何直观性来阐明数之间的关系。

又如：一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通是由焊口脱落造成的，要想一定能检测出哪处焊口脱落，至少需要检测的次数是（ ）

A.4 B. 6 C. 8 D. 30

在审题后，我们利用二分法的思想，就可以解决这一类对称问题，省时省力，提高效率。每查一次，待查的工作量就会缩减一半。就例题而言，利用二分法的思想，不断二分焊接点。第一次缩小到需要检测30个焊接点；第二次缩小到需要检测15个焊接点；第三次缩小到需要检测8个焊接点；第四次缩小到需要检测4个焊接点；第五次缩小到需要检测2个焊接点；第六次检测出焊口脱落处。故选B。二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在的结论。利用二分法，我们可以探求零点，寻找零点所在区间，利用二分法的思想，可以提高工作效率，使同学们学会碰到问题时用数学思维去思考，进而使同学们变得更聪明，更具有数学素养。再如“一元一次方程”和“一元二次方程”的解法，同学们都已经学过，但是一元三次或更高次的方程应该怎样求解呢？这里也就可以渗透“二分法”的思想，应用二分法求方程的近似解。在确定近似解时，要注意精确度的要求，必须是二分区间内的所有数值达到精确度要求后的值为同一个值，这个值才为方程的近似解。

总之，数学思想的了解和认识看起来简单，但是只有经过反复的练习和应用，通过一题多解、一题多变，多题归类、分类变化，在讨论与探究中让学生展开思维，进行观察、分析、推理、归纳等，不断加深对数学思想的认识和理解并结合习题灵活运用，才能真正提高解题效率。

责任编辑 王 慧