用基本不等式和变换的方式探讨一元三次函数的极值

万颖

摘    要： 基本不等式是高中必修教材中的重要内容，利用基本不等式求函数的极值是一种常见方法.本文利用基本不等式和变换的方法，对一元三次函数极值存在的条件和极值点做了探讨.

关键词： 基本不等式    变换    一元三次函数    极值

1.形如y=x+px+q的三次函数的极值问题

任取x，x∈R且x

y-y=（x+px+q）-（x+px+q）=（x-x）+p（x-x）

（1）当p≥0时，易知有y>y，函数单调递增，故y无极值;（2）当p<0时，为利用基本不等式求解，做变换x=t-，则

y=x+px+q=t-+pt-+q

=t-t+q-

其中，令u=-t+t，则y=-u+q-，根据基本不等式u=-t+t=t（-t+）=4··（-t+）

≤4·=-

当且仅当=-t，即t=时，等号成立，u取得极大值，y取得极小值，此时x=t-=-=;又因为函数y=x+px+q的图像关于（0，q）对称，而和-关于（0，q）对称，所以x=-，y取得极大值.

综上所述，对于三次函数y=x+px+q，当p≥0时，y无极值;当p<0时，y有极值，且y在x=处取得极小值，在x=

-处取得极大值.

2.讨论形如y=ax+bx+cx+d（a≠0）的三次函数的极值问题

y=ax+bx+cx+d=ax+x+x+

令m=，n=，s=，则y=a（x+mx+nx+s），令v=x+mx+nx+s，则y=av，为利用1中结论，并做变换x=z-，则

v=z-+mz-+nz-+s

=z+n-z+m-+s

根据1中讨论的结果，当n-<0，v取得极值，即-<0，化简后即，当b-3ac>0时，y取得极值，且

（1）若a>0，当z=时，v取得极小值，y取得极小值，此时x=z-=-=;同理，当x=时，y取得极大值.

（2）若a<0，当z=时，v取得极大值，y取得极大值，此时x=;同理，当x=时，y取得极小值.

综上所述，对于三次函数y=ax+bx+cx+d（a≠0），当b-3ac≤0时，y无极值;当b-3ac>0时，y取得极值，且极小值点为x=，极大值点为x=.

例：求函数f（x）=2x-9x+12x-3的极值.

解：因为b-3ac=（-9）-3×2×12=9>0，

所以f（x）在x==2处取的极小值f（2）=1，在x==1处取得极大值f（1）=2.

求函数极值是导数的重要应用.此文中针对一元三次函数，笔者另辟蹊径，利用基本不等式和变换的方法，探讨了一元三次函数的极值问题，并给出了一般式中极值存在的条件和极值点.

参考文献：

[1]严士健，等.普通高中课程标准实验教科书数学必修5[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]同济大学数学系.高等数学第六版上册[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]刘卫华.用均值不等式求三次多项式函数极值探讨[N].曲靖师专学报，1996，15（6）：7-9.