电子自旋角动量的升降算符*

呼和满都拉，丽 丽，杨洪涛，冀文慧，韩明初，孔令茹

(1.集宁师范学院;2.呼伦贝尔学院)

1 电子自旋角动量的升降算符的推导

以表示电子自旋角动量算符，假设其分量都是厄密的，等等)而且满足与轨道角动量一样的对易式，即

亦即

这样假设的理由是，轨道角动量曾从这种对易式出发，导出角动量(平方及投影)的本征值，其中的情况刚好和电子自旋相符合.

根据实验测量，S在任何方向的投影的取值只能是，因此成立下列算符关系:

(1)至(3)式包括了电子自旋角动量的全部性质.其中(1)式是任何角动量的共性.(2)，(3)式则是电子自旋特有的.

为了简化运算，引入无量纲的“泡利自旋算符”σ，

则(1)式变成

亦即

(2)式变成

(3)式变成

以σx分别从右和左乘(5)式，再利用(6)式，易得

类似地可证

以(8')式代入式(5)，既得

(6)，(8)，(9)式可以统一成一个公式

其中α，β，γ各自代表(x，y，z)三个分量中任何一个，εαβγ为 Levi－ Civita 符号，定义为［1］

由于Sx，Sy，Sz互不对易，没有共同本征态，电子的自旋状态一般只能采用下述表达方式.任取的一个分量Sz，以它的本征态作为基本自旋函数，任何自旋态则表示成这些本征态的线性叠加.Sz取本征值时，本征态记为或α，本征值的本征态记为χ1或β即

电子的任何自旋态χ可以表示成

这就是以Sz作为自旋变量时自旋波函数的表示形式，所以(13)式左端也可写成χ(S2)，c1和c2就是当S等于±时波函数χ的值，c和c的概z12率含义则是

当然，自旋波函数应该满足归一化条件

在Sz表象中，S及σ各分量应该表示成二阶厄密矩阵，其中Sz，σz为对角矩阵，对角元等于本征值.因此可以直接写出

下面来确定σx和σy的矩阵表示，设［1］为实数，因为

由(8)式，易得a=c=0，而由(6)式，又得bb*=1至此已经没有公式可以利用了.作为一种简明的选择，取b=1，则

再利用(9)式(σzσx=iσy)，即可定出σy，总的结果是

这就是著名的泡利矩阵.容易验证，这三个矩阵满足(6)至(9)全部关系式，泡利矩阵对于及的作用结果是

因此

如将σ换成S，(18)式就是

2 电子自旋角动量升降算符的性质

所以［σ+σ1］=4σz.

另外可得［σz，σ+］= ［σz，σx］=i［σz，σy］=2σ+.

取共轭可得［σz，σ-］=-2σ-.

通过此题能深刻理解电子自旋角动量升降算符的性质.

3 电子自旋角动量升降算符的应用

(a)写出它们的具体函数表达式.

(b)对于χ10，说明它是下列哪几个算符的本征函数，本征值等于什么?

分析:(a)由二电子体系可直接写出其4个本征函数.

α(1)α(2)］，故:χ10不是σ1x+σ2x的本征函数.

通过此题能深刻理解电子自旋角动量升降算符的应用.总结:在量子力学的所有力学量中，电子自旋角动量是最能显示微观世界基本物理特性的物理量之一［2］.电子自旋角动量的升降算符的性质是量子力学中非常重要的性质，与其他算符同样重要，甚至重于其他算符，对这些推导及性质的熟练掌握会对解题有很大的帮助，能加深你对算符的理解.

［1］钱伯初.量子力学［M］.北京:高等教育出版社，2005:151－162.

［2］周世勋.量子力学［M］.北京:高等教育出版社，2009:172－184.