唯一分解环的元素的模g同因分类*

赵凤鸣，张隆辉

(四川职业技术学院)

0 引言

文献［1］在整数集Z上定义了模n同因关系，研究了整数的模n同因分类，得到整数的模n同因分类Z(n)，证明了:Z(n)的元素个数是T(n)(其中T(n)是n的正因数个数);Z(n)关于乘法［a］［b］=［ab］作成以［0］为零元，文献［1］为单位元的交换半群，且除文献［1］外其余的元都没有逆元.由于最大公因子是唯一分解环的重要概念，整数环Z是唯一分解环，故在一般的唯一分解环中研究同因关系，而把Z中的同因关系作为它的特例，从而文献［1］的相关结论就得到了统一和推广.

1 预备知识

定义1［2］一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.

唯一分解环I的任意两个元a，b在I里一定有最大公因子，并且a，b的任意两个最大公因子相伴，a，b的任一最大公因子的相伴元仍是a，b的最大公因子.将a，b的所有最大公因子的集合记为(a;b)，因此(a;b)是由a，b唯一确定的I的一个子集.在I里元g生成的主理想记为(g)，商环或剩余类环I/(g)的元记为，a∈I，=a+(g).

引理1 设I是一个唯一分解环，g是I中的一个给定元，∀a，b∈I，规定a～b当且仅当(a;g)=(b;g)，则～是I的元间的一个等价关系.

证明～是I的元间的一个关系，因对任意给定的a，b∈I，(a;g)和(b;g)是否相等是唯一确定的.∀a，b，c∈I，由(a;g)=(a;g)，有a～a;若a～b，则(a;g)=(b;g)，故(b;g)=(a;g)，从而b～a;若a～b，b～c，则(a;g)=(b;g)，(b;g)=(c;g)，故(a;g)=(c;g)，从而a～c.故～是I的元间的一个等价关系.

定义2 设I是一个唯一分解环，g是I中的一个给定元，∀a，b∈I，由a～b⇔(a;g)=(b;g)确定的I的元间的等价关系～叫做I的模g同因关系，它所决定的I的分类叫做I关于模g的同因分类，记为I(g)，其中每一个类都叫做模g的一个同因类，a所在的同因类记为［a］.

由定义2有［a］={x∈I|(x;g)=(a;g)}，I(g)={［a］|a∈I}.

引理2［3］设I是一个唯一分解环，∀a，b，c∈I，如果a|bc，且a与b互素，则a|c.

引理 3［1］设 α，β，α'，β'，γ 都是非负实数，且

min{α，γ}=min{α'，γ}，min{β，γ}=min{β'，γ'}，则

min{α+β，γ}=min{α'+β'，γ'}.

2 结果及其证明

定理1 唯一分解环I关于模g的同因分类I(g)具有如下性质:

(1)［a］= ［b］⇔(a;g)=(b;g);

(2)若a，b相伴，则［a］= ［b］.

(3)［a］= ［0］⇔g|a.

(4)［a］=［1］⇔a与g互素.

(5)若a，g互素，则［ab］= ［b］，从而［εb］= ［b］，其中 ε 是I的单位.

证明 (1)由定义2直接得出.

(2)由a，b相伴，则存在I的单位ε使a=εb，故d|a⇔d|b，d∈(a;g)⇔d∈(b;g)，所以(a;g)=(b;g)，由(1)得［a］= ［b］.

(3)由(1)［a］=［0］⇔(a;g)=(0;g)={εg|ε是I的单位}⇔g|a，故结论成立.

(4)由(1)［a］=［1］⇔(a;g)=(a;1)={ε|ε是I的单位}，故结论成立.

(5)∀d∈(ab;g)，则d|ab，d|g.又因a与g互素，则d与a互素，由引理2有d|b，故d是b，g的一个公因子.又设d'是b，g的任一公因子，则d'也是ab，g的一公因子，而d是ab，g的一最大公因子，故d'|d，从而d∈(b;g).

反之，∀d∈(b;g)，类似可证得d∈(ab;g)，故(ab;g)=(b;g)，从而［ab］= ［b］.

定理2 设I是一个唯一分解环，记I*是I的元按相伴关系分成的等价分类，给定模g∈I.

(1)若g=0，则I(g)=|I*|，即I(0)与I*的阶相等.

(2)若g≠0，记g的互不相伴的因子的个数为T(g)，则

①|I(g)=T(g)|，从而|I(ε)|=1，其中ε是I的单位.

②［d1］，［d2］，…，［dT(g)］就是I(g)的全部元，其中d1，d2，…，dT(g)是g的T(g)个互不相伴的因子.

证明 (1)在I中，元间的相伴关系显然是一个等价关系，将I中所有与a相伴的元的集合记为a*，则I*={a*|a∈I}.令 σ(［a］)=a*(∀［a］∈I(0))，则σ是I(0)到I*的双射，因为模g=0，故［a］=［b］⇔(a;0)=(b;0)⇔a与b相伴⇔a*=b*.

(2)因g≠0，且I是唯一分解环，故g的互不相伴的因子的个数T(g)是一个确定的正整数.如果存在di，dj(i≠j)使［di］= ［dj］(1 ≤i，j≤T(g))，则(di;g)=(dj;g)，又di|g，dj|g，故di∈ (di;g)，dj∈ (dj;g)，从而di与dj相伴，矛盾.所以［d1］，［d2］，…，［dT(g)］是I(g)的T(g)个不同元.∀［a］∈I(g)，取d∈(|a;g|)，则d|g，故(a;g)=(d;g)，所以［a］= ［d］且d与d1，d2，…，dT(g)之一相伴，不妨设d与某个

dk(1≤k≤T(g))相伴，则(d;g)=(dk;g)，故［d］= ［dk］，从而［a］= ［dk］，所以I(g)⊆{［d1］，［d2］，…，［dT(g)］}，故I(g)={［d1］，［d2］，…，［dT(g)］}.从而 ①、② 成立.

定理3 设I是一个唯一分解环，给定g∈I，则|I(g)|≤|I/(g)|.

∀A∈I(g)，存在a∈I使［a］=A，则σ)= ［a］=A，故 σ是I/(g)到I(g)的一个满射，从而存在一个I(g)到I/(g)的单射，由文献［4］知|I(g)|≤|I/(g)|.

定理4 设I是一个唯一分解环，给定模g∈I，在同因分类I(g)中规定:

则(*)是I(g)的一个乘法运算，I(g)关于此乘法作成一个以文献［1］为单位元的交换半群，并且除了文献［1］以外其它元都没有逆元.

证明 (1)∀a'∈［a］，b'∈［b］，则(a';g)=(a;g)，(b';g)=(b;g)，［a'］［b'］= ［a'b'］，需证(a'b';g)=(ab;g)，即得［a'b'］=［ab］，从而(*)是I(g)的乘法运算.

①若g=0，则a'与a相伴，b'与b相伴，从而a'b'与ab相伴，有(a'b';g)=(ab;g).

②若g是单位，则(a'b';g)=(ab;g)={ε|ε是I的单位}.

③若g既不是0也不是单位，

Ⅰ.若a，b中有一个是0，不妨设a=0，则(ab;g)=(a;g)={εg|ε是I的单位}.又(a';g)=(a;g)，故g|a'，g|a'b'，从而(ab;g)={εg|ε是I的单位}=(a'b';g).

Ⅱ.若a'，b'中有一个是0，类似于Ⅰ可得(ab;g)={εg|ε是I的单位}=(a'b';g).

Ⅲ.若a，b，a'，b'均不为0，则可设b=εbpβ11pβ22…pβnn，b'=εb'pβ1'1pβ2'2…pβn'n

其中εg，εa，εa'，εb，εb'都是单位，p1，p2，…，pn是互不相伴的元素，γi，αi，αi'，βi，βi'都是非负整数，

γi不全为0，1≤i≤n，则εaεb，εa'εb'是单位，且

由最大公因子的求法得

由引理3得min{αi+βi，γi}=min{α'i+β'i，γi}，即δ'i=δi(1≤i≤n)，故(a'b';g)=(ab;g).

(2)由于I的元对乘法适合结合律、交换律，并且单位元是1，故∀［a］，［b］，［c］∈I(g)(a，b，c∈I)，有

(［a］［b］)［c］=［ab］［c］=［(ab)c］=［a(bc)］=［a］［bc］=［a］(［b］［c］)，

［a］［b］=［ab］=［ba］=［b］［a］，［1］［a］=［1a］=［a］=［a］［1］

(3)若［a］∈I(g)有逆元，即存在［b］∈I(g)，使［a］［b］=［1］，即［ab］=［1］，由定理1之(4)有ab与g互素，从而a与g互素，同样由定理1之(4)有［a］=［1］.

3 结束语

在整数环Z中只有1和－1是单位，通常限定模n＞0，a和n的最大公因子就取为数论意义的最大公因数，记为(a，n)(＞0)，n的T(n)个互不相伴的因子可就取作n的T(n)个互异正因数d1，d2，…，dT(n).因此，Z关于模n(＞0)的同因类是［d1］，［d2］，…，［dT(n)］，其中［di］={x∈Z|(x，n)=di}.这样，只要给定n＞0，Z(n)={［di］|1≤i≤T(n)}关于同因类的乘法就是一个确定的、除了单位元［1］以外其它元都没有逆元的交换半群，Z(n)的乘法为:［di］［dj］=［didj］=［dij］，其中dij=(didj，n)，［n］=［0］.

该文利用模g同因关系构造出了一个含单位元且仅单位元有逆元的T(g)阶交换半群I(g).由于I是抽象的唯一分解环，所以含单位元且仅单位元有逆元的有限交换半群是很广泛的，比如，对任意给定的正整数n，Z(pn－1)就是这样的n阶交换半群(p是素数).

［1］魏国祥，徐志军.整数的模n同因分类［J］.四川职业技术学院学报，2004，24(6):143–145..

［2］张禾瑞.近世代数基础(1978年修订本)［M］.北京:人民教育出版社，1978.130.

［3］张隆辉，石化国，廖辉，等.整环是唯一分解环的充要条件［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2012，28(1):25－27.

［4］陆少华.近世代数［M］.上海:上海交通大学出版社，1992.16.