江苏高考直线与圆问题的剖析

李祥

摘要：直线与圆是高中数学的重要知识，是高考的热点、重点和难点问题，每年必考。大题、小题都有出现，分值一般在20分左右。尤其近几年，随着高中新课程改革的不断推进，直线与圆在高考中的考查越来越广泛，要求也越来越高。那么，本文就将对近几年江苏高考试卷中的一些直线与圆的问题给予剖析，希望能对2016年的高考复习有所帮助。

关键词：江苏高考；直线与圆；问题剖析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0103

一、考查直线与圆的位置关系

例1. （2010江苏9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数的取值范围是 。

【解析】圆的半径为2，根据题意得：圆心（0，0）到直线12x+5y+c=0的距离小于1，即 <1，得c的取值范围是（-13，13）。

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，抓住圆心到直线的距离满足小于即可。解题中关键就是将圆上有且仅有四个点到直线的距离为转化为圆心到直线的距离满足小于，从而将问题得以转化。本题属于中档题，难度适中。

例2. （2012江苏12）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 。

【解析】根据题意将此化成标准形式为：（x-4）2+y2=1，得到，该圆的圆心为M（4，0）半径为1，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M（4，0）到直线y=kx-2的距离d≤1+1，即可，所以有d= ≤2，化简得x（3k-4）≤0解得0≤k≤ ，所以k的最大值是 。

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及到点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，这句话的理解，只需要圆心M（4，0）到直线y=kx-2的距离d≤1+1即可，从而将问题得以转化。本题属于中档题，难度适中。

二、考查与弦长有关的问题

例3. （2014江苏9）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆（x-2）2+（y+1）2=4截得的弦长为 。

【解析】圆（x-2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，-1），半径为r=2，点C到直线x+2y-3=0的距离为d= = ，所求弦长为l=2 =2 = 。

【点评】本题主要考查直线与圆的相交时有关弦长问题，抓住半径、半弦、弦心距构成的直角三角形，利用弦长公式即可.本题属于容易题，难度一般。

三、考查与切线有关的问题

例4. （2013江苏17（1））在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l∶y=2x-4设C圆的半径为1，圆心在l上。若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程。

【解析】由y=2x-4y=x-1得圆心C（3，2），∵圆C的半径为1

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0

∴ =1 ∴3k+1= ∴2k（4k+3）=0 ∴k=0或者k=

∴所求圆C的切线方程为：y=3或者y=- x+3即y=3或3x+4y-12=0

【点评】本题主要考查直线与圆的相切时有关切线问题，抓住圆心到切线的距离等于半径，即利用即可。解题中还需注意所求切线的条数，若记住过圆外一点引圆的切线必有两条这一结论，将避免漏解。本题属于中档题，难度适中。

四、考查圆与圆的位置关系

例5. （2013江苏17（2））在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l∶y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上。若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。

【解析】∵圆C的圆心在在直线l∶y=2x-4上，所以，设圆心C为（a，2a-4）

则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1 又∵MA=2MO

∴设M为（x，y）则 =2 整理得：x2+（y+1）2=4设为圆D.

∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点

∴ 2-1≤ ≤2+1

由5a2-8a+8≥0得x∈R由5a2-12a≤0得0≤x≤

综上所述，a的取值范围为：0，

【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，涉及到阿波罗尼斯圆、解一元二次不等式，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的应用。本题的解题关键就是对圆C上存在点M，使MA=2MO这句话的理解，满足MA=2MO的点C的轨迹可求得是圆D，因此知点M应该既在圆C上又在圆D上，进而将问题转化为圆与圆有公共点。本题属于中高档题，难度较大。

五、考查以直线、圆为背景的应用题

例6. （2014江苏18）如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区。规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆。且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m。经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO= 。

（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

【解析】以正东方向为x轴，以O为坐标原点建立平面直角坐标系由题意可知A（0，60），B（170，0）；由tan∠BCO= 可知直线BC的斜率k=- ，则直线BC所在直线的方程为y=- （x-170）；

又由AB⊥BC可知，AB所在的直线方程为y= x+60；联立方程组y=- （x-170）y= x+60，解得x=80，y=120；

即点B（80，120），那么BC= =150

答：新桥BC的长度为150m.

（2）由题意设M（0，a）（0≤a≤60），圆M的方程为x2+（y-a）2=r2，且由题意可知r= = ，又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么r-a≥80r-（60-a）≥80，解得10≤a≤35；由函数r= 为区间[10，35]上的减函数，故当a=10时，半径取到最大值为130。

答：当OM=10m时，圆形保护区的面积最大，且最大值为16900π。

【点评】本题结合图形通过恰当的建系即可转化为解几问题，主要考查直线方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力。实质上本题也可直接运用三角知识处理。

从以上江苏近几年的高考试题剖析可见，直线与圆题主要考查直线与圆的位置关系、与弦长有关、与切线有关的常见的问题。因此，我们的平时教学应重视基本概念、基础知识、常考题型、通性通法的夯实，强化解几这块知识的计算要求，加强能力考查的力度，加强试题的综合性，同时可以使试题具有较广泛的实际意义，我们备课时应给予足够的重视。

（作者单位：江苏省高邮市送桥中学 225651）