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关于函数切线方程问题的探究

2015-08-26张池

中学课程辅导·教学研究 2015年22期
关键词:问题探究函数

张池

摘要:利用导数的几何意义求函数的切线方程,以及利用切线方程解决函数相关问题,是高考中的热点问题。如何高效地解决相关问题,并达到事半功倍的效果,就要求我们掌握解题的规律,提升分析问题、解决问题的能力,培养创新、探究的能力。

关键词:函数;切线方程;问题探究

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2015)11-0080

在本文中,笔者通过我们学习中常遇到的数学题型,加以分析、归纳,一起来探究、总结规律,掌握解题方法。

题目:已知曲线y= x2+

①求曲线在点p(2,4)处的切线方程。

②斜率为4的曲线的切线方程。

分析:①曲线在点p(2,4)处的切线方程,点p即为切点。下面只需利用导数求函数的斜率,再运用点斜式即可以求出切线方程。②斜率为4的曲线的切线方程,则需要求出切点,导数的几何意义就是斜率,我们可以利用导数求出切点坐标,再运用点斜式即可以求出切线方程。

解①∵P(2,4)在曲线y= x2+ 上,且x′=x2

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

②设切点为(x0,y0),则切线的斜率k=x20=4,x0=±2

切点为(2,4)或-2,- ,

∴切线方程为y-4=4(x-2)或y+ =4(x+2),

即4x-y-4=0或12x-3y+20=0.

评析:本题主要考查了切线方程的求解。①是已知切点缺斜率,②是已知斜率缺切点。只需求出所缺量,利用直线方程公式求出即可。

变式1:探究:若将本例①中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解?

分析:虽然此时点P(2,4)在曲线上,但要注意过点P(2,4),此点就不一定为切点,所以求切线方程就需确定切点和斜率。设切点,求切线方程,在将点代入求解。

解:设曲线y= x3+ 与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0, x30+

则切线的斜率k=x30

∴切线方程为y- x30+ =x30(x-x0),即y=x20·x- x30+ .

∵点P(2,4)在切线上,

∴4=2x20- x30+ ,即x30-3x20+4=0

∴x30+x20-4x20+4=0.

∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0

∴(x0+1)(x0-2)2=0.解得x0=-1或x0=2.

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0。

评析:本题主要考查了切线方程的求解。当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解。此处,为什么不设斜率呢?因为设斜率,运算较为复杂,不易求解。

通过原题及变式1,我们可以进行探究:

1. 曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线,两种说法有无区别?

(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P点为切点,斜率为k=f′(x0)的切线,是惟一的一条切线。

(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点。点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条。

2. 求曲线切线方程的步骤

(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;

(2)由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0)。

3. 对于一道数学问题,如果我们将其中某些确定的数字改为参数,原曲线就变为动曲线,就将原问题置于开放的、具有动感的系统中,就像赋予新的生命一样,下面我们来看变式:

变式2:已知a为常数,若曲线y=ax3+ ,直线4x-y-4=0与曲线相切,则实数a的值?

分析:本题已知切线方程,求a的值。同样切点不知道,所以我们可以通过设出切点,再根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率,构造方程组求解。

解:设切点为(x0,y0),

由题意可知ax20+ =4x0-44x20=4

解得x0=2a=

评析:本题利用切线方程,求参量的值。

变式2使曲线动了,如果我们再赋直线于动态之中,又将如何呢?

变式3:已知a为常数,若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线4x-y-4=0平行的直线与曲线相切,求实数a的取值范围?

分析:存在斜率为4的直线与曲线相切,即曲线上某点的导数等于4方程有解。

解:由题意知曲线上存在某点的导数为4,

所以y′=2ax+3- =4有正根,

即2ax2-x-1=0有正根.

当a>0时,曲线过定点(0,-1)显然满足题意;

当a=0时,x=-1显然不满足题意

当a<0时,对称轴x= <0,过点(0,-1)此时无正根。

综上,a>0。

评析:本题考查了利用切线斜率求参量的范围。曲线、直线都是动的,在动中要抓住定。解决本题的关键就是曲线过定点(0,-1),切线的斜率为定值。定点问题是高考考查的热点问题,定点问题是在变化中所表现出来的不变的量,不受变量所影响的某个点,就是要求的定点。

前面介绍的是一条直线和一个曲线相切的变化关系,如果是一条直线与两个曲线都相切,那又将如何呢?下面我们继续来看变式。

变式4:若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ x-9都相切,则a等?

分析:由过点(1,0)且与曲线y=x3相切,可以求出切线方程,再由切线方程求出参量a的值。

解:设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x30),所以切线方程为y-x30=3x30(x-x0),即y=3x30x-2x30,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0= ,

当x0=0时,由y=0与y=ax2+ x-9相切可得a=- ;

当x0= 时,由y= x- 与y=ax2+ x-9相切可得a=-1;

评析:本题主要考查了切线方程的求解,利用切线方程,求参量的值。可以看成是变式1与变式2的综合。

前面介绍的只有一个参量,如果有两个参量,那又将如何呢?探究到这里,是不是很有意思,下面我们继续来看变式。

变式5:若直线y= x+b是曲线y=alnx(x>0)的切线,则当a>0时,实数b的最小值?

分析:直线与方程相切不知切点,设切点,根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率,构造方程组求出b。再构造函数,利用导数求最值。

解:设切点为(x0,y0),

由题意可知 x0+b=alnx0 =

∴b=alnx0- x0= x0lnx0- x0

令f(x)= xlnx- x

f′(x)= (lnx+1)- = lnx

令f′(x)=0 则x=1

当x∈(0,1)时f′(x)<0 ,f(x)在(0,1)上单调递减

当x∈(1,+∞)时f′(x)>0 ,f(x)在(1,+∞)上单调递增

∴f(x)的最小值为- ,即实数b的最小值为-

评析:本题主要考查了切线方程,函数最值,导数的几何意义及运用。

规律探究:解决切线方程有关的问题时,应重点注意以下几点:

①首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键;

②当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.

③抓住题目的关键点是解决此类问题的保证;

④熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提。

当然,我们还有许多其他的变形方式,进行进一步探究。有兴趣的,可以进一步尝试。

我们通过不断的变化、探究,逐步深入地解决函数切线的相关问题,并引入参量,把原题不断地升华。以这样的方式学习,不但可以激发学习的兴趣,而且学习的效果一定是高效的。

(作者单位:江苏省兴化市周庄高级中学 225700)

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