关于函数切线方程问题的探究

张池

摘要：利用导数的几何意义求函数的切线方程，以及利用切线方程解决函数相关问题，是高考中的热点问题。如何高效地解决相关问题，并达到事半功倍的效果，就要求我们掌握解题的规律，提升分析问题、解决问题的能力，培养创新、探究的能力。

关键词：函数；切线方程；问题探究

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0080

在本文中，笔者通过我们学习中常遇到的数学题型，加以分析、归纳，一起来探究、总结规律，掌握解题方法。

题目：已知曲线y= x2+

①求曲线在点p（2，4）处的切线方程。

②斜率为4的曲线的切线方程。

分析：①曲线在点p（2，4）处的切线方程，点p即为切点。下面只需利用导数求函数的斜率，再运用点斜式即可以求出切线方程。②斜率为4的曲线的切线方程，则需要求出切点，导数的几何意义就是斜率，我们可以利用导数求出切点坐标，再运用点斜式即可以求出切线方程。

解①∵P（2，4）在曲线y= x2+ 上，且x′=x2

∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=4.

∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0.

②设切点为（x0，y0），则切线的斜率k=x20=4，x0=±2

切点为（2，4）或-2，- ，

∴切线方程为y-4=4（x-2）或y+ =4（x+2），

即4x-y-4=0或12x-3y+20=0.

评析：本题主要考查了切线方程的求解。①是已知切点缺斜率，②是已知斜率缺切点。只需求出所缺量，利用直线方程公式求出即可。

变式1：探究：若将本例①中“在点P（2，4）”改为“过点P（2，4）”如何求解？

分析：虽然此时点P（2，4）在曲线上，但要注意过点P（2，4），此点就不一定为切点，所以求切线方程就需确定切点和斜率。设切点，求切线方程，在将点代入求解。

解：设曲线y= x3+ 与过点P（2，4）的切线相切于点Ax0， x30+

则切线的斜率k=x30

∴切线方程为y- x30+ =x30（x-x0），即y=x20·x- x30+ .

∵点P（2，4）在切线上，

∴4=2x20- x30+ ，即x30-3x20+4=0

∴x30+x20-4x20+4=0.

∴x20（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0

∴（x0+1）（x0-2）2=0.解得x0=-1或x0=2.

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0。

评析：本题主要考查了切线方程的求解。当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解。此处，为什么不设斜率呢？因为设斜率，运算较为复杂，不易求解。

通过原题及变式1，我们可以进行探究：

1. 曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线与过点P（x0，y0）的切线，两种说法有无区别？

（1）曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P点为切点，斜率为k=f′（x0）的切线，是惟一的一条切线。

（2）曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点。点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条。

2. 求曲线切线方程的步骤

（1）求出函数y=f（x）在点x=x0处的导数，即曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；

（2）由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f′（x0）·（x-x0）。

3. 对于一道数学问题，如果我们将其中某些确定的数字改为参数，原曲线就变为动曲线，就将原问题置于开放的、具有动感的系统中，就像赋予新的生命一样，下面我们来看变式：

变式2：已知a为常数，若曲线y=ax3+ ，直线4x-y-4=0与曲线相切，则实数a的值？

分析：本题已知切线方程，求a的值。同样切点不知道，所以我们可以通过设出切点，再根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率，构造方程组求解。

解：设切点为（x0，y0），

由题意可知ax20+ =4x0-44x20=4

解得x0=2a=

评析：本题利用切线方程，求参量的值。

变式2使曲线动了，如果我们再赋直线于动态之中，又将如何呢？

变式3：已知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线4x-y-4=0平行的直线与曲线相切，求实数a的取值范围？

分析：存在斜率为4的直线与曲线相切，即曲线上某点的导数等于4方程有解。

解：由题意知曲线上存在某点的导数为4，

所以y′=2ax+3- =4有正根，

即2ax2-x-1=0有正根.

当a>0时，曲线过定点（0，-1）显然满足题意；

当a=0时，x=-1显然不满足题意

当a<0时，对称轴x= <0，过点（0，-1）此时无正根。

综上，a>0。

评析：本题考查了利用切线斜率求参量的范围。曲线、直线都是动的，在动中要抓住定。解决本题的关键就是曲线过定点（0，-1），切线的斜率为定值。定点问题是高考考查的热点问题，定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。

前面介绍的是一条直线和一个曲线相切的变化关系，如果是一条直线与两个曲线都相切，那又将如何呢？下面我们继续来看变式。

变式4：若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+ x-9都相切，则a等？

分析：由过点（1，0）且与曲线y=x3相切，可以求出切线方程，再由切线方程求出参量a的值。

解：设过（1，0）的直线与y=x3相切于点（x0，x30），所以切线方程为y-x30=3x30（x-x0），即y=3x30x-2x30，又（1，0）在切线上，则x0=0或x0= ，

当x0=0时，由y=0与y=ax2+ x-9相切可得a=- ；

当x0= 时，由y= x- 与y=ax2+ x-9相切可得a=-1；

评析：本题主要考查了切线方程的求解，利用切线方程，求参量的值。可以看成是变式1与变式2的综合。

前面介绍的只有一个参量，如果有两个参量，那又将如何呢？探究到这里，是不是很有意思，下面我们继续来看变式。

变式5：若直线y= x+b是曲线y=alnx（x>0）的切线，则当a>0时，实数b的最小值？

分析：直线与方程相切不知切点，设切点，根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率，构造方程组求出b。再构造函数，利用导数求最值。

解：设切点为（x0，y0），

由题意可知 x0+b=alnx0 =

∴b=alnx0- x0= x0lnx0- x0

令f（x）= xlnx- x

f′（x）= （lnx+1）- = lnx

令f′（x）=0 则x=1

当x∈（0，1）时f′（x）<0 ，f（x）在（0，1）上单调递减

当x∈（1，+∞）时f′（x）>0 ，f（x）在（1，+∞）上单调递增

∴f（x）的最小值为- ，即实数b的最小值为-

评析：本题主要考查了切线方程，函数最值，导数的几何意义及运用。

规律探究：解决切线方程有关的问题时，应重点注意以下几点：

①首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；

②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.

③抓住题目的关键点是解决此类问题的保证；

④熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提。

当然，我们还有许多其他的变形方式，进行进一步探究。有兴趣的，可以进一步尝试。

我们通过不断的变化、探究，逐步深入地解决函数切线的相关问题，并引入参量，把原题不断地升华。以这样的方式学习，不但可以激发学习的兴趣，而且学习的效果一定是高效的。

（作者单位：江苏省兴化市周庄高级中学 225700）