大变形下轴向力对船舶推进轴系弯曲固有频率影响

邹冬林，荀振宇，花纯利，塔 娜，饶柱石

(1.上海交通大学 振动、冲击、噪声研究所，上海 200240;2.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240;3.海军驻426厂军事代表室，辽宁 大连 116001)

船舶航行时推进轴系在不平衡载荷与流体激励下产生振动，经推进轴系、推力轴承及基座传递至船体引起噪声，因此分析推进轴系动力学特性具有重要意义。准确预测轴系弯曲振动固有频率对设计非常重要。船舶推进轴系不同于普通转子，因受较大轴向静推力，导致弯曲振动固有频率发生变化。

实际的梁、转子结构中存在较多受轴向载荷作用，如立柱受自重载荷作用，船舶、飞机推进轴系受轴向推力作用，机床主轴加工时受轴向分力、高速旋转叶片受离心力作用等，且颇受关注。文献［1］忽略转动惯量及陀螺效应影响，研究高速旋转轴在轴向力作用下固有频率变化。文献［2］研究末端带集中质量盘的悬臂转子在轴向载荷作用下固有频率变化表明，陀螺效应会使第一阶正进动模态发生屈曲的载荷增加。文献［3］用传递矩阵法研究轴向力作用下弯扭耦合转子振动特性表明，轴向力对弯曲方向固有频率影响强于扭转方向。文献［4］研究变截面Euler-Bernoulli梁在轴向力作用下振动特性表明，轴向力对低阶固有频率及振型影响较大。文献［5］研究加工过程中交变轴向力对球头铣刀刀杆固有频率影响。

以上分析均为轴向推力或系统振动幅值不大时的线性近似。对船舶推进轴系而言，静推力较大、转轴细长，在不平衡激励或流体激励下易产生较大振动［6］。此时几何非线性效应不可忽略。因此需对几何非线性效应下轴系动力学行为进行研究。文献［7］研究变截面复合梁在轴向载荷与von Karman应变引起的几何非线性联合作用下轴系非线性固有频率变化趋势。文献［8］利用摄动方法研究轴向载荷作用下因中性面伸长引起的几何非线性梁屈曲行为。以上分析尽管涉及梁的非线性，但其非线性并非由轴向载荷引起。文献［9］研究的轴向载荷作用下简支转子非线性固有频率变化，其非线性为由轴向载荷引起，但模型忽略转动惯量，且结构简单，难以满足工程实际。

因此，本文针对船舶推进轴系，考虑转动惯量，忽略陀螺效应影响，建立考虑大变形的轴向静推力引起几何非线性动力学模型，研究轴向静推力对船舶推进轴系弯曲固有频率影响。

1 动力学模型

典型的螺旋桨轴系由螺旋桨、前后艉轴承、中间轴承及推力轴承组成，见图1。为简化分析，设轴系具有均匀截面，螺旋桨简化为集中质量，各轴承简化为有刚度弹簧。

图1 船舶推进轴系简图Fig.1 Schematic of marine propulsion shafting

为获得轴系动力学方程，考虑微元轴段的受力平衡。微元轴段在xy平面的受力投影见图 2(x为轴向)。

图2 微元轴段受力简图Fig.2 Force diagram of a small element shaft

由力平衡条件得

式中:fy为y向分布力;Vy为y向剪切力;P为轴向力;v为y向振动位移;θy=v'为截面转角;ρ为密度;A为截面积。

考虑转动惯量，忽略陀螺效应影响，由力矩平衡条件得

式中:My为绕z轴弯矩;I为截面惯性矩。

对工程一般问题采用线性近似即可获得较高精度，但轴向静推力或振动幅值较大时，简单线性近似不能精确给出系统动力学行为，由高阶项导致的非线性效应不可忽略。故本文保留正弦函数高阶项，即

由Euler-Bernoulli梁理论知

结合式(1)～式(4)，考虑支撑弹簧影响，引入狄拉克函数获得轴系非线性振动偏微分方程为

式中:xj为第j个支撑至螺旋桨距离;kj为第j个支撑刚度值。

同理可得z向振动微分方程为

式中:w为z向振动位移。

边界条件为:

式中:第一项为y向剪力平衡;第二项为绕z轴弯矩平衡;M1，Jd1为螺旋桨质量及直径转动惯量。

设转子完全对称，记Z=v+i w，Z=v－i w，则式(5)～式(7)可变为

2 无量纲化及离散

无量纲边界条件为

利用Galerkin方法将偏微分方程离散为常微分方程，试探函数采用线性模态振型。记为

式中:φm(x)为弯曲振动第m阶振型函数。

将式(12)代入式(10)，两边乘以 φm(x)，从［0，1］区间积分，并分部积分结合边界条件得

利用模态振型关于质量与刚度的正交性性质［10］，将振型按质量归一化，无量纲下正交条件为

式中:ωm为弯曲方向第m阶无量纲固有频率。利用式(13)、(14)可化为:

式(15)为弱非线性问题，引入小参数ε，记为

则原方程可化为

3 多尺度法

本文采用多尺度法［11］求解此非线性问题。该法在平均法基础上将时间尺度划分更精细，由斯特罗克最早提出，并经奈佛等发展完善，因而成为较有效的近似计算方法。与摄动法相比，多尺度法明显优点为不仅能计算周期运动，且能计算耗散系统的衰减振动;不仅能计算稳态响应，且能计算非稳态过程;也能分析稳态响应稳定性，描绘非自治系统全局运动性态。

设运动中含不同时间尺度 t，εt，ε2t，…的时间历程。不同时间尺度描述变化过程的不同节奏，阶数愈低变化愈缓慢，阶数愈高变化愈迅速。引入表示不同尺度的时间变量为

非线性振动过程为不同尺度时间变量的函数，即

式中:m为小参数最高阶次，取决于计算精度要求。

将不同尺度的时间变量视为独立变量，则x(t，ε)成为m个独立时间变量的函数，对时间微分可利用符合函数微分公式按ε幂次展开，即

式中:Dn为偏微分算子符号。

将动力学方程中的微分运算式(20)代入，变量Y按式(19)展开代入动力学方程，比较同次幂系数可得各阶近似非线性偏微分方程组。依次求解过程中利用消除长期项的附件条件及初始条件，导出各阶近似解的确定表达式。

本文只考虑一次近似解。引入两个时间尺度T0，T1。设解的形式为

将式(20)、(21)代入式(17)，比较ε同次幂系数，得各阶近似线性偏微分方程为

将零次近似方程(22)的解写成复数形式，即

式中:A为待定复函数。将式(24)代入式(23)右边，得

式中:NST为不会产生长期项的因子。

为避免长久项出现，函数A须满足

将复数A写成指数形式为

将式(27)代入式(26)，分开实、虚部，获得 a，θ的一阶常微分方程组，即

积分式(28)，并结合式(24)、(27)，可得系统非线性固有频率与线性固有频率关系，即

式中:a0为自由振动振幅，取决于初始条件。

由式(29)可知，弯曲振动的非线性固有频率与轴向力及轴系参数有关。

4 算例分析

以某船舶推进轴系为例，轴系长度14.65 m，外径300 mm，内径160 mm，材料弹性模量210 GPa，密度7800kg/m3。轴系各支撑参数为:后尾轴承径向刚度3.05 ×108N/m;前艉径向刚度1.06 ×108N/m;中间轴承径向刚度2.66×108N/m。螺旋桨质量为8 t，直径转动惯量2000kg·m2。

求解非线性参数βm时需对各阶振型求导、积分运算。因船舶推进轴系边界条件复杂，难以求得固有频率及振型的解析解，只能获得数值解。本文利用有限单元法求得振型的数值解，将轴系划分成293个单元，每个单元长度均为0.05 m，各径向轴承依次在15，155，269节点处。单元质量、刚度矩阵构成及详细计算方法见文献［12－13］。

采用有限单元法求得不考虑轴向静推力的轴系弯曲前两阶线性固有频率为:第一阶9.27 Hz，第二阶20.16 Hz。

获得离散点振型后按式(16)用数值微分与数值积分技术求。为提高数值微分与积分精度，既可增加有限元单元数目，亦可将离散数值点拟合成B样条曲线进行求导、积分运算［14］。大量实例表明，B样条曲线在数据较稀疏下拟合效果亦较理想。此表明，用有限单元法求数值振型时可不用较多节点数目，因此本文采用第二种方法。数值振型的B样条曲线拟合对比见图3。由图3看出，两者吻合度较好。由式(16)可求出。

本文主要考察轴向力与振幅对弯曲方向固有频率影响，计算结果均还原为有量纲量。考察轴系前两阶弯曲振动固有频率，轴向载荷对第一、二阶固有频率影响见图4、图5。将仅考虑轴向力、不考虑几何非线性影响称为线性固有频率;将同时考虑轴向力、几何非线性影响称为非线性固有频率。由两图知，尽管线性下轴向压力使各阶固有频率下降，但非线性效应呈硬弹簧特性，致各阶固有频率有所增加。线性条件下100 t轴向推力时第一阶固有频率下降约5.7%(所有百分比均以无静推力固有频率);第二阶固有频率下降约4.08%。考虑几何非线性影响时固有频率受振幅影响较大，呈平方关系(式(29))。振幅较小时固有频率增加不明显，幅值为 、100 t轴向推力时第一阶固有频率下降约5.5%，第二阶下降约3.64%。与不考虑几何非线性的固有频率下降百分比差别不大(第一阶固有频率差别0.2%，第二阶固有频率差别0.44%)，表明此时系统非线性效应较弱，可忽略其影响;振动幅值较大时非线性效应急剧增加，使固有频率增加明显，如幅值为时，100 t轴向推力下第一阶固有频率下降约2.91%，第二阶固有频率未下降，反而增加2.92%，表明非线性效应不可忽略，否则会导致误差;幅值为时，100 t轴向推力下第一阶固有频率增加达5.33%，第二阶固有频率增加高达23.43%，此时非线性效应呈主导趋势。非线性作用对第二阶固有频率影响较第一阶大。

图3 模态振型拟合Fig.3 Modal shape fitting

图4 轴向力对第一阶固有频率影响Fig.4 Effect of axial force on the first natural frequency

图5 轴向力对第二阶固有频率影响Fig.5 Effect of axial force on the second natural frequency

5 结论

针对船舶推进轴系，用牛顿法建立大变形下受轴向静推力的几何非线性动力学模型，用Galerkin方法将偏微分方程转化为常微分方程，并利用多尺度方法求解。通过研究轴向静推力对船舶推进轴系弯曲固有频率影响，结论如下:

(1)线性下轴向静推力使轴系弯曲固有频率降低，由其引起的几何非线性效应呈硬弹簧特性，使轴系弯曲固有频率增加。振动幅值较大时非线性效应明显增强。非线性效应对高阶固有频率影响更大。

(2)船舶航行时工作频率及叶频应避开轴系固有频率。对轴系载荷较大导致振动幅值较大时，轴系设计初期需充分考虑几何非线性导致固有频率增加特性，准确预估轴系固有频率;对轴系，因螺旋桨叶片腐蚀或剥落导致不平衡量增加引起较大振动时，在几何非线性作用下可能改变轴系的固有频率，使工作频率落入共振区。须及时修复螺旋桨或定期进行动平衡。

［1］Behzad M，Bastami A R.Effect ofcentrifugal force on natural frequency of lateral vibration of rotating shafts［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，274(3/5):985 －995.

［2］Yim K， Yim J. Dynamic behavior of overhung rotors subjected to axial forces［J］. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing，2012，13(9):1575－1580.

［3］孟浩，刘耀宗，王宁，等.轴向力对轴系弯扭耦合振动特性的影响［J］.振动与冲击，2008，27(10):103－105.MENG Hao，LIU Yao-zong，WANG Ning，etal.Influence of axial force on flexural-torsional coupled vibration of a shaft system［J］.Journal of Varation and Shock，2008，27(10):103－105.

［4］徐腾飞，向天宇，赵人达.变截面Euler-Bernoulli梁在轴力作用下固有振动的级数解［J］.振动与冲击，2007，26(11):99－101.XU Teng-fei， XIANG Tian-yu， ZHAO Ren-da. Series solution ofnatural vibration ofthe variable cross-section eulerbernoulli beam under axial force［J］.Journalof Vibration and Shock，2007，26(11):99 －101.

［5］阎兵，张大伟，徐安平，等.球头刀铣削过程动力学模型［J］.机械工程学报，2002，38(5):22－26.YAN Bing，ZHANG Da-wei，XU An-ping，et al.Dynamic modeling of ball end milling［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2002，38(5):22 －26.

［6］陈之炎.船舶推进轴系振动［M］.上海:上海交通大学，1987.

［7］Asadi H，Aghdam M M.Large amplitude vibration and postbuckling analysis of variable cross-section composite beams on nonlinear elastic foundation［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2014，79:47 －55.

［8］Eugeni M，Dowell E H，Mastroddi F.Post-buckling longterm dynamics of a forced nonlinear beam:a perturbation approach［J］.Journal of Sound and Vibration，2014，333(9):2617 －2631.

［9］Hosseini H，Ganji D D，Abaspour M，et al.Effect of axial force on natural frequency of lateral vibration of flexible rotating shafts［J］.World Applied Sciences Journal，2011，15(6):853－859.

［10］克拉夫R，彭津J.结构动力学［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［11］刘延柱，陈立群.非线性振动［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［12］薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的 MATLAB求解［M］.北京:清华大学出版社，2008.

［13］高庆水，邓小文，张楚，等.单支撑1000 MW超超临界汽轮机轴系不平衡响应分析［J］.振动与冲击，2014，33(14):201－205.GAO Qing-shui， DENG Xiao-wen，ZHANG Chu，et al.Unbalance response of 1000 MW ultra supercritical turbine with single bearing support［J］.Journal of Vibration and Shock，2014，33(14):201 －205.

［14］钟一鄂，何衍宗，王正，等.转子动力学［M］.北京:清华大学出版社，1986.