硬弹簧Duffing隔振系统跳跃性对广义混沌同步影响分析

楼京俊，张 晖，俞 翔，朱石坚

(1.海军工程大学 动力工程学院，武汉 430033;2.船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033)

针对线谱危害及难以消除情况，楼京俊等［1－5］提出线谱混沌控制方法。利用非线性隔振系统处于混沌状态时响应功率谱呈连续谱特征，实现减弱或消除特征线谱、提高声隐身性能目的。线谱混沌化控制方法用于工程实际时，存在如何在隔振系统中实现持续混沌运动难。对此，文献［2］提出基于广义混沌同步的线谱控制及附加碰撞子系统的隔振系统混沌化方法。前者利用广义混沌同步原理，即用外加混沌系统驱动非线性隔振系统某些隔振参数，使系统始终保持混沌运动状态。过榴晓等［6］研究非线性系统两类广义混沌同步的存在性，从理论上严格证明该广义同步化流形的指数吸引性，并用数值仿真证实理论分析结果。Qin等［7］提出通过速度的线性耦合实现原始系统与驱动系统间混沌同步与混沌反同步控制，并理论证明其可行性;针对Duffing系统仿真结果验证该方法的正确性、有效性。张莹等［8］研究正弦参激Duffing系统共存的周期与混沌吸引子及在初始平面中心对称分形吸引域错综复杂图像，定性探索其邻近发生的对称破缺激变。Wen［9］提出修正的映射同步方法，实现较大参数范围内持续混沌化。李盈丽［10］利用广义混沌化同步原理控制方法，以Lorenz系统族作为驱动信号，调整驱动系统参数使其作混沌运动，通过混沌同步化原理混沌化非线性隔振系统。然而，对最基础的非线性隔振系统－Duffing系统，因在一定参数区间存在跳跃性，对其进行广义同步混沌化过程中会产生因初始条件不同，将系统混沌化为小振幅混沌运动或大振幅现象，大、小振幅混沌的隔振效果存在差别较大。俞翔等［11］虽认为广义混沌同步系统中普遍存在多值性，对耦合Duffing系统混沌化同步时发现系统存在两个同步混沌吸引子，但未分析多值性与非线性系统跳跃性关系。本文通过分析Duffing系统广义混沌同步化，实现隔振系统在较宽参数范围内产生稳定的混沌运动，并研究Duffing系统跳跃性对线谱混沌化控制效果影响。

1 Duffing隔振、驱动系统模型

为用广义混沌同步线谱控制方法分析如何在隔振系统中实现持续混沌运动，考虑图1的非线性隔振系统，其运动微分方程为

式中:K1X+K3X3为非线性弹性恢复力。

图1 非线性隔振系统Fig.1 Nonlinear vibration isolation system

简化式(1)，得

式中

k3＞0为硬弹簧Duffing方程，k3＜0为软弹簧Duffing方程。分析中选硬弹簧Duffing系统为研究对象，即

采用参数驱动(parameter－driven scheme)广义混沌同步控制方法实现系统间混沌同步。选混沌驱动系统为

将 v作为驱动信号，a=0.1，b=9，ω =3.9311，G=2，取初始条件(0，0)时相图及Poincaré图见图2。

图2 驱动系统的相图和Poincaré图Fig.2 Phase diagram and Poincarémap of the drive system

对式(3)的Duffing非线性隔振系统，仅讨论驱动非线性隔振系统的线性刚度k1情况。以驱动系统输出v为驱动信号，式(3)中k1=kv，k为驱动强度。式(3)可改写为

2 广义混沌同步化方法及稳定性分析

研究发现，参数取 k1=k3=1，δ=0.1，ω =2 时，f在0.4～2.3范围内未驱动Duffing系统(3)会因初始条件不同而在大小振幅上跳动，见图3。由图3看出，系统在选取不同初始条件时可得两个不同周期运动。

图3 方程·x·+0.1·x+x+x3=1cos2t分析Fig.3 Duffing equation in Van del Pol plane

分析系统未受驱动与受驱动时响应振动及功率谱。取式(3)参数为 k1=k3=1，δ=0.1，ω =2，f=1，未用驱动系统时系统会因初始条件不同产生大小两个振幅的周期运动，其响应相图、位移功率谱见图4，其中功率谱图以1为参考值获得分贝数(其它功率谱图均以此参考值为准)。图4(a)、(b)为小振幅周期运动，(c)、(d)为大振幅周期运动。

图4 未受驱动时系统响应大小振幅相图及功率谱图Fig.4 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in unsynchronized state

图5 受驱动时系统响应相图及功率谱图Fig.5 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in synchronized state

图5为受驱动后Duffing系统相图及功率谱图。由图5看出，系统受驱动后系统无论在小振幅或大振幅运动中均产生稳定的混沌运动，功率谱亦由线谱变为连续谱。取驱动强度 k=0.08，计算系统(5)的 Lyapunov指数得系统最大Lyapunov指数为－0.04893，故系统(5)为渐近稳定的［12］，见图6。

图6 系统Lyapunov指数Fig.6 Lyapunov exponents of the drive system

3 跳跃性与混沌化效果分析

取参数 k1=k3=1，δ=0.1，ω =2，f=1，k=0.08，分析获得系统受驱动前后周期解吸引域与混沌吸引域见图7。图中深色表示被驱动系统产生小振幅的初始条件区域，浅色表示驱动系统产生大振幅混沌运动的初始条件区域。两者叠加区域表示系统未受驱动时处于小振幅周期运动，混沌同步后变为大振幅混沌运动。

图7 受驱动前后周期解吸引域与混沌吸引域Fig.7 Small periodic attraction basin in unsynchronized state and chaotic attraction basin in synchronized state

取初始条件(－0.1，－9.5)进行分析，见图8。系统未受驱动时系统响应为小振幅周期运动;受驱动后系统响应为大振幅混沌运动，见图9。通过广义混沌同步化，系统在取图7中重叠区域初始条件时虽能实现将线谱变为连续谱，但会增加功率谱最大值。此因系统受驱动后，系统从小振幅周期运动转化为大振幅混沌运动结果。

同理，对系统受驱动前后周期解吸引域与混沌吸引域进行分析，结果见图10。深色表示被驱动系统产生大振幅运动的初始条件区域，浅色表示被驱动系统产生小振幅混沌运动的初始条件区域。两者叠加区域为系统未受驱动时处于大振幅周期运动，混沌同步后变为小振幅混沌运动。

图8 未受驱动时系统响应的相图及功率谱图Fig.8 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in unsynchronized state

图9 受驱动时系统响应相图及功率谱图Fig.9 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in synchronized state

选图10中叠加区域取初始条件(0.1，－3.5)进行分析见图11。由图11看出，系统未受驱动时系统响应为大振幅周期运动;受驱动后系统响应为小振幅混沌运动见图12。通过广义混沌同步，在取图10中重叠区域初始条件时系统不仅能实现将线谱变为连续谱，且功率谱亦得到大幅度降低。此为系统受驱动后从大振幅周期运动转化为小振幅混沌运动结果。

图10 受驱动前后周期解吸引域与混沌吸引域Fig.10 Large periodic attraction basin in unsynchronized state and chaotic attraction basin in synchronized state

图11 未受驱动时系统响应的相图、功率谱图Fig.11 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in unsynchronized state

综上分析，硬弹簧Duffing隔振系统在跳跃区间实施广义混沌同步时，系统可实现在较宽参数范围内产生稳定混沌运动，并将线谱转换为连续谱。系统初始条件取(图10)重叠区域时，系统不仅可产生持续的混沌运动，且功率谱也能大幅降低，但系统初始条件应避开(图7)重叠区域才能取得较好的混沌化隔振效果。

图12 受驱动时系统响应的相图、功率谱图Fig.12 Phase diagram and power spectrum of the Duffing system in synchronized state

4 结论

通过对硬弹簧Duffing隔振系统进行广义混沌同步化分析得，① 实现隔振系统在较宽参数范围内产生稳定的混沌运动;② 发现Duffing系统跳跃性对混沌化隔振效果产生重要影响。在系统产生跳跃区间上内应避开一定初始条件区间才能取得较好隔振效果。

［1］楼京俊.基于混沌理论的线谱控制技术研究［D］.武汉:海军工程大学，2006.

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