基于有限参与模型的封闭式基金折价研究

于伯韬

[摘要]封闭式基金折价之谜是行为金融学的重要课题，以前学者已从多个角度进行解释。本文在简单总结前人研究结论的基础上，基于有限参与模型，从基金管理费、委托代理问题和风险分散效应三个角度对封闭式基金折价进行新的解释，并结合中国市场历史数据进行实证检验。

[关键词]封闭式基金折价;行为金融学;有限参与模型;委托代理问题

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.12.027

1封闭式基金折价的已有解释

封闭式基金折价之谜由来已久，此前国内外许多学者已从多个角度做出理论解释和实证检验。传统理论试图在不破坏有效市场假设的前提下对封闭式基金折价做出解释，它们认为导致基金折价的主要原因有：代理成本、流动性限制、资本利得税以及未来绩效预期等。这些观点各有一定的说服力，但都没有解释问题的所有方面。20世纪90年代以来，行为金融学打破了理性金融学关于投资者理性的假设，发展了新的观点，对封闭式基金折价提出了新的解释，其中包括：噪声理论（DSSW理论）、非对称信息解释、投资者情绪理论、随机换手理论、均匀流动性解释、羊群行为等等。

2基于有限参与假说的模型

2.1模型假设

尽管过去许多学者从传统金融学和行为金融学的角度对封闭式基金折价提出了各种观点，但这些观点仍不能很好地解释这个谜题。本文参考Youngsoo（2007）的有限参与模型，从一个新的角度解释封闭式基金折价之谜，并检验该模型是否能解释中国封闭式基金市场的折价现象。这个模型的一大特点是考虑了封闭式基金的委托代理问题，并把这个因素量化到数学模型中。

基于有限参与假说考虑一个简单的两阶段模型，这种假设的合理性在于投资者必须为了解调查更多的公司付出相当大的固定成本。假定当投资者了解一组资产的均值和协方差矩阵时，他们就算了解这组资产，所有的投资者对其了解的同一组资产具有同质预期，所以具有同质预期的投资者只有初始禀赋不同其他方面均相同。假定投资者仅了解可供投资的所有资产中的一部分，并且投资者只投资他们了解的资产，这种假设的动机在于从实证检验中发现投资者在其投资组合中通常只持有成千上万可投资资产的一小部分。

在笔者的模型中，仅有一种无风险资产、三种风险资产和一种封闭式基金。基金经理用无风险资产、风险资产乙和风险资产丙这三种他了解的资产构建封闭式基金的投资组合。基金经理在基金结束期收取基金收益的一部分作为基金管理的回报。在所有的投资者中，只有一部分投资者（我们称之为投资者N）了解封闭式基金，这些投资者同时了解风险资产甲和无风险资产。因此投资者N投资于无风险资产，封闭式基金份额和风险资产甲。

根据这种假设，尝试求解投资者N和基金经理M的最优选择和封闭式基金份额的均衡价格。基于有限参与假说，考虑三种影响封闭式基金折价或溢价的经济因素：基金管理费、委托代理问题和风险分散效应。

第一个经济因素是基金管理费。这是封闭式基金折价之谜的最早解释因素之一。在完全参与假设下，基金份额价格等于净资产价值（NAV）减去基金管理费。

第二个因素是委托代理问题。所谓委托代理问题是指代理人和委托人利益并不完全一致，在委托人处于信息劣势，不能对代理人进行完全监督的情况下，代理人有动机为了自身利益，做出有损于委托人利益的行为，由此造成的委托人利益受损的现象。在我们的模型中，基金经理在构建投资组合时考虑的是如何使其基金管理费收入最大化而不是如何使投资者N的收益最大化，这种目的的不一致造成了基金份额价格偏离其NAV，由此产生委托代理问题。

第三个因素是风险分散效应。尽管基金管理费和委托代理成本能够解释封闭式基金份额折价，但它们都不能解释基金的溢价情况，尽管这种情况很少见。风险分散效应基于封闭式基金收益和风险资产甲收益的相关系数，能够解释基金的溢价现象。两者的相关系数越低，风险分散效应越大，基金份额价格因此上升。当仅考虑风险分散效应，忽略基金管理费和委托代理问题，封闭式基金收益与风险资产甲收益呈负相关时，基金份额溢价交易。

2.2模型推导

在假设中共有三个不同的风险资产，用Fk表示三种风险资产在期末支付的随机收益，k=1，2，3。Fk服从均值为μk的正态分布。用Fc表示表示封闭式基金份额在期末支付的随机收益，其均值为μc，方差为σc，与风险资产甲的协方差为σ1c。R表示无风险资产在期末支付的收益，无风险资产的期末支付R对包括基金经理在内的所有投资者是公开信息。用xjK表示投资者j持有的风险资产k的数量，用Pc表示封闭式基金一单位份额的价格，用gk表示资产k预期的额外收益。

gk=E（Fk-PkR）=μk-PkR（1）

考虑一个了解风险资产乙丙的基金经理M（或一组相同的基金经理），在期初建立封闭式基金并以确定的价格（通常溢价）向投资者出售基金份额。当基金开始运行时，基金经理用出售基金份额所得收入构建投资组合，作为回报基金经理在期末收取基金投资组合收益的一部分，记为。假设基金经理在其私人账户不进行任何风险资产或基金份额的交易，因为这样会消除基金的折价或溢价。

投资者在期初的初始禀赋为Wj，效用函数为负指数形式如下：

U（Wj）=-1ajexp（-ajWj）（2）

这样规定的意义在于负指数形式的效用函数绝对风险厌恶系数为aj。

U′（W）=-e-aWU″（W）=-ae-aWRA（W）

=-U″（W）U′（W）=a（3）

投资者N希望其投资组合收益的期望效用最大化，而基金经理希望基金管理费收入的期望效用最大化。假设发行在外的基金份额数量为1。

2.2.1对基金经理而言的投资组合问题

基金经理的目的在于通过持有适当数量的风险资产乙，xm2，和风险资产丙，xm3，使其基金管理费收入Fc的期望效用最大化。基金投资组合的收益为：

Fc=WmR+xm2（F2-P2R）+xm3（F3-P3R）（4）

基金经理持有风险资产的最优数量为：

xm2=σ23g2-σ2 3g3am[σ22σ23-（σ2 3）2]

和xm2=σ22g3-σ2 3g2am[σ22σ23-（σ2 3）2]（5）

2.2.2对投资者N而言的投资组合问题

投资者N可投资风险资产甲、封闭式基金份额和无风险资产，他了解风险资产甲和基金份额期末随机支付的均值和方差，同时也知道风险资产甲和基金份额收益的协方差，他不知道的是基金经理投资组合的构成。

σ2c=var（Fc）=（xm2σ2）2+（xm3σ3）2+2xm2xm3σ23（6）

σ1c=cov（F1， Fc）=xm2σ12+xm3σ13（7）

μc=E（Fc）=WmR+xm2g2+xm3g3（8）

投资者N的目的在于选择持有适当数量的风险资产甲，xN1，和基金份额，xNc，使得其期末财富的预期效用最大化。

N=NR+xN1（F1-P1R）+xNc[（1-）Fc-PcR]（9）

投资者N持有的风险资产甲和基金份额的最优数量为：

xN1=（1-）σ2cg1-σ1c[（1-）μc-PcR]aN（1-）[σ21σ2c-（σ1c）2]（10）

xNc=-（1-）σ1cg1-σ21[（1-）μc-PcR]aN（1-）2[σ21σ2c-（σ1c）2]（11）

2.2.3市场出清的均衡价格

当投资者N持有全部发行在外的封闭式基金份额时，市场处于出清状态，此时：xNc=1

由式（5）和式（8）得：

μc=E（Fc）=mR+amσ2c（12）

由式（10）、式（11）和“xNc=1”得：

xN1=1aNσ21[g1-aN（1-）σ1c]（13）

用NAV代替m，由式（12）、式（11）和“xNc=1”可得市场出清状态下分隔壁是基金的价格为：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]-aNRσ1cxN1（14）

2.3模型解释

我们从基金管理费、委托代理问题和风险分散因素三个角度解释上述模型。

2.3.1基金管理费

假设投资者N完全了解风险资产甲、乙、丙，并可投资这些风险资产（完全参与假说），那么无套利条件下封闭式基金份额的价格为：

Pc=（1-）NAV（15）

在投资者N完全参与的假设下，封闭式基金折价仅取决于基金管理费，基金管理费反映了基金经理的参与成本或交易成本。

2.3.2委托代理问题

假设投资者N并不了解任何的风险资产，即有限参与假设下，投资者只能投资无风险资产和封闭式基金份额，容易得出这种状态下的封闭式基金份额价格为：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]（16）

上述公式主要表达第二个因素，即委托代理问题对封闭式基金份额价格的影响，-σ2cR[aN（1-）-am]这一项即是由委托代理问题引起的。通常情况下，委托代理问题导致封闭式基金份额价格偏离其NAV，但是当aN（1-）=am时除外，在这种情况下恰好没有委托代理问题，基金的折价水平仅取决于基金管理费。为了说明这一点，我们回忆基金经理和投资者N所面临的最大化问题：

基金经理：Max E[exp（1amFc）]

投资者N：Max E{exp[-aN（1-）Fc]}

当aN（1-）=am时，这两个最大化问题是相同的，也就是说，基金经理和投资者N此时的目的是一致的，也就不存在委托代理问题。此时封闭式基金的交易价格等于基金的NAV减去基金管理费。

当aN（1-）≠am时，封闭式基金的折价或溢价取决于投资者N和基金经理的绝对风险厌恶系数。当投资者N更加风险厌恶时，即aN>am1-时，投资者N对持有基金份额需要更多的补偿，因此基金份额的交易价格发生折价。相反地，当投资者N没有那么风险厌恶时，基金份额的交易价格发生溢价。因为通常小于2%，所以我们容易得出aN>am1-和σ2cR[aN（1-）-am]>0。所以委托代理问题通常会引起封闭式基金折价。

2.3.3风险分散效应

假设当aN（1-）=am时，容易得出此时基金份额的价格为：

Pc=（1-）NAV-aNRσ1cxN1（17）

此刻暂时不考虑委托代理问题，我们把-aNRσ1cxN1称为风险分散效应。为了看清这一点，我们应认识到基金投资组合为投资者N提供了风险分散效应，因为它为投资者提供了更多的投资机会。风险分散效应主要取决于风险资产甲和封闭式基金投资组合的相关系数σ1c，两者间的相关系数越低，风险分散效应带来的好处就越大，这和马科维茨的经典投资组合理论相一致。

在以下两种情况下，风险分散效应为0 。一是当风险资产甲为无风险资产，即σ1c=0;二是当风险资产甲为基金投资组合的一部分。第一种情况显而易见，我们考虑第二种情况，在没有委托代理问题的大前提下，当风险资产甲为基金投资组合的一部分时，投资者N不必再持有任何额外的风险资产甲，因为基金投资组合已为投资者N提供了最佳的风险资产甲的数量，此时xN1=0。

综上，当风险资产甲和封闭式基金投资组合的相关系数为负时，-aNRσ1cxN1>0， 此时封闭式基金份额价格会上升。当两者间的相关系数足够小，风险分散效应所造成的价格上升影响超过基金管理费和委托代理问题造成的价格下降影响时，基金份额就会溢价交易。这样我们的模型就解释了虽然罕见但有时确实存在的封闭式基金溢价交易情况。

3实证检验与结论

本文的另一个主要目的是检验有限参与模型是否能解释中国封闭式基金的折价现象。我们选取23只在上交所上市的封闭式基金从2001年到2007年的周数据，数据来源于国泰安数据库。我们用上证指数代表中国市场投资组合的表现情况，用一年期定期存款利率代表无风险利率。因为模型中的一些参数是以回报的形式展示而不是回报率，所以我们需要对式（14）进行调整得：

PcNAV=（1-）1-NAV×σ2（rc）R[aN（1-）-am]-

cov（r1， rc）Rσ2（r1）[E（r1）-rf]-

aN（1-）×NAV×cov（r1， rc）]（18）

其中rf为无风险利率;为基金管理费，=0.015。把风险资产甲定义为中国市场投资组合，所以r1为上证指数收益率，E（r1）=0.13994，σ2（r1）=0.00023。σ2（rc）为封闭式基金NAV回报率的方差，cov（r1， rc）为上证指数收益率和封闭式基金收益率的协方差。我们把NAV标准化为1。aN和am是投资者N和基金经理的绝对风险厌恶系数，am=0.01055， aN=0.03165。在决定绝对风险厌恶系数的值时，参考Grundy（2002）的另一篇文献，相对风险厌恶系数为4对应的绝对风险厌恶系数为0.0211，容易假设投资者N比基金经理更加的风险厌恶，所以令投资者N的绝对风险厌恶系数比0.0211大50%，令基金经理的绝对风险厌恶系数比0.0211小50%，这样绝对风险厌恶系数的平均值仍为0.0211。

根据上表可得上图，图中横坐标为基金NAV增长率与上证指数收益率的相关系数，因为折溢价率均为负，所以纵坐标取折价率绝对值。由图可以看出，近半数基金由模型计算出的折价率比较明显地大于实际折价率，极少数基金由模型计算出的折价率比较明显地小于实际折价率，其余基金的实际折价率与由模型计算出的折价率基本相同。由模型计算出的折价率数据和实际折价率数据的相关系数为0.658711。总体来说，模型在一定程度上能解释中国封闭式基金市场的折价原因，委托代理问题确实也是影响中国封闭式基金折价的因素之一。

但是仍应该看到，模型对真实市场的折价情况解释能力有限，仅在两阶段有限参与假设的框架下，模型不能解释基金折溢价与基金发行时间长短的关系，也不能解释为什么在基金发行的最初一两个星期投资者会以一定的溢价购买封闭式基金份额等问题。模型假设只有一种封闭式基金，投资者具有同质预期等等，种种苛刻假设简化了许多问题，也为今后的研究提供了思路。

参考文献：

[1]Charles M.C.Lee，Andrei Shleifer，Richard H.Thaler：Investor Sentiment and the Closed-End Fund Puzzle [J].Journal of Finance，1991（46）：74-109.

[2]Burton G.Malkiel：The Valuation of Closed-End Investment Company Shares [J].Journal of Finance，1977（32）：847-859.

[3]韩国文，任伟红.我国封闭式基金折价的实证分析及行为金融学解释[J].经济论坛，2004（4）：59-64.

[4]安德瑞施莱弗.并非有效的市场——行为金融学导论[M].赵英军，译.北京：中国人民大学出版社，2003.