高三数学复习课选题要体现数学的本质

李纪阔

【摘要】“问题”是高三数学课堂的中心，“问题”贯穿数学课堂的始终，提高复习效率已成为数学教师必须面对的问题.如何做到精选问题，笔者认为选题要做到能够体现数学的本质.因此，教师有必要对问题的价值做出判断，对问题的功能充分开发，从而达到理想的复习效果.

【关键词】学科本质;基本数学概念;数学思想方法;数学理性美

“问题”是高三数学课堂的中心，“问题”贯穿数学课堂的始终，承担着决战考场的重任.高三数学问题教学的目的是帮助学生掌握基本知识和基本概念，启迪学生的思维，发展学生的能力.因此教师有必要对问题的价值做出判断，对问题的功能充分开发，对问题的解决过程充分展示，这才是提高高三数学复习质量的有效保证.但目前高三数学复习课的现状并不乐观，主要表现为高投入、低产出.高三的复习课时间紧、内容多、容量大.纵观当前的课堂教学，大多数是“教师讲+学生听+题海战术”的模式.教师在上课时，生怕学生见的题型少，急于把更多的知识传授给学生，拼命抢时间，和时间赛跑.学生就拼命地练，高三一学年下来，试卷一大堆.学生投入了大量时间、精力，做了很多题，题型也见了很多，但学生参加高考时，成绩依然没有多少提高.这种教学的“高投入，低产出”说明了改革课堂教学，精选问题，提高复习效率已成为数学教师必须面对的问题.如何做到精选问题，笔者认为选题要做到能够体现数学的本质.

1.选题要能体现数学学科本质一：对基本数学概念的理解.

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性在思维中的反应，它是数学的基础，脱离了概念数学就成了无源之水，无本之木.复习概念时，教学设计的重点应该放在概念的内涵和外延上.分段函数的概念教学就是一个很好的素材，笔者对分段函数的复习做了如下教学设计：

问题1 截取函数y=x2+1的图像在（0，+∞）上的一部分，截取函数y=-x+1的图像在区间-∞，0上一部分，将两个截取部分拼在一起形成新的的图像，问该图像是否有资格成为某一函数的图像？

问题2 数学讲究用事实说话，用数据说话，该函数的解析式能否写出来？

问题3 已知函数f（x）=x2+1，x>0

-x+1，x≤0，求ff-12.

问题4 知函数f（x）=x2+1，x>0

-x+1，x≤0且fa=4，求a的值.

问题5 已知函数f（x）=x2+1，x>0

-x+1，x≤0，解不等式f（x）≥2.

问题6 已知函数f1（x）=x-1，f2（x）=13x+1，g（x）=f1（x）+f2（x）2+f1（x）-f2（x）2.

若a，b∈-1，5，且当x1，x2∈a，b时，gx1-gx2x1-x2>0恒成立，则b-a的最大值为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

整个教学设计围绕分段函数的概念展开.问题1、2的选取目的是加深学生对函数概念的理解.问题3、4、5选取的目的是让学生明确分段函数的关键是对自变量进行分类讨论.问题6是江南十校2013年考题，选取的目的是突出分类讨论思想、函数思想，提高学生综合分析问题的能力.

2.选题要能体现数学学科本质二：对数学思想方法的把握

基本数学概念背后往往蕴涵重要的数学思想方法.数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识;数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映;数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位.对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用.因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法.数学专题复习常用的数学思想和方法如下：1.函数与方程的思想;2.数形结合思想;3.分类讨论思想;4.等价转化思想.

为了充分体现数学思想方法在数学中的应用，笔者在二轮专题讲解数学思想方法时，分别设计了以下问题：

问题1 已知函数f（x）=2x-12x+1，若方程f（x）=k在区间（-∞，0）上有解，求k的取值范围.

本题体现了函数与方程是一个“和谐”的整体，k只有以函数f（x）的一个函数值得“身份”出现，方程f（x）=k才能有解.

问题2 已知函数f（x）=f′（1）eex-f0x+12x2（e是自然对数的底）.

（1）求函数f（x）的解析式和单调区间;

（2）若方程12x2+a=f（x）在区间-1，2上有两个不同的实数根，求a的取值范围.

此题是2013江南十校考题，题（1）其主要解题障碍是解析式中的f0和f′（1）不知如何求出.面对这两个未知量，我们只需建立关于f0和f′（1）的二元一次方程组即可.解答如下：

解：f′（x）=f′（1）eex-f0+x

在边上式中令x=1即得到f′（1）=f′（1）-f0+1.

①

在f（x）=f′（1）eex-f0x+12x2中令x=0 即得到f（0）=f′（1）e.

②

联立①②解方程组即可得f（x）=ex-x+12x2.

此题在讲解过程中如果只“空降”解题方法，呈现的只是一种光鲜而严谨甚至绝妙的解答，而没有指出方程组是解决这一问题的重要工具，方法就像降落伞一样从天上掉下来，学生也许能模仿这类题的解法，但不能将它迁移到新的解题情景中去，那么复习的效率将大打折扣.当笔者指出方程组思想在本题中是如何运用后，接下来的变式题学生就能轻松解决.

变式题： 已知函数f（x）=f′（1）x3-f（2）x2+1，求函数f（x）的解析式.

题（2）是函数与方程交融的一道常考试题.如果题目让我们求根，那么我们的操作对象别无选择只能是方程本身，但我们遇到更多的问题是判断或保证方程根的个数，此时我们常用的处理方式是将方程问题转化为函数问题，因为函数有图像，问题就会变得很直观，方程解的个数问题就转化为交点个数问题.简解如下：

解：由12x2+a=f（x），得：ex-x+a=0.

令h（x）=ex-x+a，

由导数知识得到h（x）=ex-x+a在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增.

方程ex-x+a=0在区间-1，2上有两根转化为函数h（x）=ex-x+a的图像在区间-1，2上有两个交点，故只需h0<0

h-1≥0

h（2）≥0，解得：1

问题3 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-x，证明：f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立.

此题常见的错解是去证明[f（x）]max≤[g（x）]min，而事实上f（x）≤g（x）并不等价于[f（x）]max≤[g（x）]min，此题的难点是要证的不等式两边都是变化的，让学生觉得难以“驾驭”.为此笔者在教学中先设计了如下一道题：

证明：不等式lnx-2（x-1）x+1>0在区间（1，+∞）上恒成立.

本题学生基本都能解决，要证的不等式一边是变化的而另外一边是固定的数据0，0便是我们的 “参照物”，只需要证明函数f（x）=lnx-2（x-1）x+1在区间（1，+∞）上的最小值大于 “参照物”0即可.现在再来解决问题3，笔者在教学中只交给学生五个字：转化与化归，学生便很快将要证的不等式转化为f（x）-g（x）≤0，从而问题得到轻松解决.

3.选题要能体现数学学科本质三：对数学理性美的鉴赏

文学是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，数学则以理性思维的形式描述人类的感觉经验.文学“以美启真”，数学则“以真启美”，能否领悟和欣赏数学的理性美是一个人数学素养的基本成分，能够领悟和欣赏数学理性美也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法.能够把握数学理性美的本质也有助于培养学生对待数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩.以下两例均是旨在培养学生对数学理性美的鉴赏力特意选择的两道题.

例1 试题（2013安徽理科第20题改编）：设函数

fn（x）=-1+x+x222+x332+…+xnn2，x∈R，n∈N，证明：

（Ⅰ）对每个n∈N，存在唯一的xn∈23，1，满足fn（x）=0;

（Ⅱ）对每个n∈N，xn>xn+1.

这里我们只求解题（Ⅱ），图像上给我们的感性认识就是xn>xn+1，但数学追求的是理性认识，以下求解过程便体现了数学的理性美.

解 ∵fn+1（xn）>fn（xn）且fn（xn）=fn+1（xn+1），

∴fn+1（xn）>fn+1（xn+1），又∵函数fn+1（x）在区间23，1上是单调递增函数，∴xn>xn+1.

例2 （2015合肥三模） 已知函数f（x）=lnx-2x+3.

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间;

（Ⅱ）设函数g（x）=2tx-x+1，若g（x）>f（x）对x>0恒成立，求整数t的最小值.

这里我们只求解题（Ⅱ），令x=1，得到t>12，再令x=2，得到t>ln2，以上两个结果给我们的感性认识是t总是大于一个在区间0，1上的实数，即我们的感性认识是整数t的最小值是1.但数学追求的是理性认识，接下来只需令t=1证明g（x）>f（x）对x>0恒成立即可，证明的过程就是数学追求理性美的体现.

综上所述，高三数学教学的目的是帮助学生基本知识和基本概念，启迪学生的思维，发展学生能力，培养学生对数学理性美的鉴赏力.因此，教师有必要对问题的价值做出判断，对问题的功能充分开发，从而达到理想的复习效果.