漫谈数学有何特点

赵登虎

【摘要】本文概括了数学内容抽象性、思想辩证性、语言符号性、推理严密性和应用广泛性五个特点，通过研究数学的特点有助于我们更好了解数学及应用数学.

【关键词】抽象性;辩证性;符号性;严密性;广泛性

联合国教科文组织确定的七大基础学科之首是数学，克劳塞维茨在《战争论》一书中指出战争的五大要素中数学就是其一，说明数学的重要性！数学是研究数量关系或空间形式的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具.数学有何特点呢？通过研究数学的特点有助于我们更好了解应用数学.

一、数学内容的抽象性

唯物辩证法认为，客观世界的任何事物都是质和量的统一体.数学也不例外，她是为了从纯粹的数量关系或空间形式去研究、反映客观世界，就不得不把事物具体的内容暂时抛开，仅仅保留“数”和“形”及其联系，这就决定了其内容具有高度抽象性特点.恩格斯指出的，数学“为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边”，而“以极度抽象的形式出现”.随着数学的发展，它的原理、概念越来越概括，结构越来越严密，体系越来越浓缩，从而使它越来越抽象.例如，在数的概念的扩充中，引入负数建立有理数概念，引入无理数建立实数概念，引入虚数建立复数概念等.

二、数学思想的辩证性

恩格斯指出：“数学是辩证的辅助工具和表现方式”，“变数的数学……本质上不外是辩证法在数学方面的运用”.这就是说，在数学中辩证法表现的比较充分、丰富，比较典型、深刻.首先，在数学中，矛盾的辩证法是极其丰富的.马克思主义哲学告诉我们，对立统一规律，即矛盾辩证法是辩证法的实质和核心.用这个观点观察数学就容易发现，整个数学，处处都有典型的、深刻的矛盾辩证法.例如，在我们要学习的微积分中，除了自始至终贯穿着微分与积分的矛盾外，还有常数与变数的矛盾等等.可见，没有矛盾就没有数学;否认了矛盾，也就否认了数学.其次，数学体现辩证法的特点比较典型.恩格斯所说，辩证法是“关于普遍联系的科学”，数学则非常典型的体现辩证法这个重要的特征.学数学，前面的内容不学，后面的内容就无法学.用公理方法建立的数学体系，犹如积木，它一级一级，逐级往上;它一层一层，层次清楚;它一环扣一环，环环扣的很紧;它的每一个概念、原理和命题，都是一个有机体中不可缺少的组成部分;我们无论抓住那一个环节，就可以顺藤摸瓜，往前，能追溯到它的出发点，往后，能推导出整个体系.

三、数学语言的符号性

全面而又系统地使用符号，是数学又一显著特点.数学不仅有数字符号和运算符号，而且有一系列的关系符号;不仅有许许多多的专用符号，而且有许多辅助符号.伽利略说：“宇宙这本书是用数学语言写成的.除非你首先学懂了它的语言，否则这本书是无法读懂的”.爱因斯坦说：“牛顿第一个成功地找到了一个用公式清楚表述的基础，从这个基础启发他用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象并且同经验相符号”.数学语言之所以需要符号，是因为： 一是计算的要求，数学虽然不等于计算，但是数学有相当一部分内容离不开计算，要计算，不仅需要计算的工具，而且得有计算的符号.二是逻辑推理的需要，因为数学除了作计算以外，还作逻辑推理.要对抽象的概念、命题和关系作由此及彼的推理，就不得不用符号去表示他们，否则逻辑推理无法生行，从而不可能有数学理论.三是数学形式简化的最好途径.数学作为工具，当然越简单明了，越能使人容易掌握越好.

四、数学推理的严密性

列宁指出：“任何科学都是应用逻辑”.如果说任何一门科学都离不开逻辑，那末数学则更是使用逻辑的典型.清数学家李善兰：数学是“由易而难，若阶级之渐升”.我们知道，一个数学命题，它在数学中能否成立，并不是取决于实验证明，而是取决于逻辑推理.但作为数学中的命题，必须是用逻辑论证方式严格地证明了的时候，才能在数学中成立.因为：一是数学高度抽象的原故;二是数学中不少命题的提出，只能用逻辑论证的方法证明它们成立，则成为数学中的定理;三是严格的逻辑论证，也是保证数学命题正确的方法;四是严格的逻辑论证，常常可以获得一些在实践中尚未提出的问题，使数学走在实践的前面，为实践开辟道路.这是数学发展不可缺少的手段.

数学严密的逻辑论证结果，使它的结论极为确定，主要表现在：数学由证明（包括计算）得出的结论总是确定的;凡是数学中的定理，全是靠得住的，令人非常信服的，数学中的一切结论，并不因数学的发展而过时.

五、数学应用的广泛性

数学应用广泛性是它的第一个特点高度的抽象性的逻辑结果.越是抽象的东西，应用越广泛.拿破仑 ：“数学的发展与至善和国家的繁荣昌盛密切相关.”爱因斯坦说：“只有微分定律的形式才能完全满足近代物理学家对因果性的要求，微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”.数学应用范围仅仅次于哲学.根据马克思的思想，任何“一门科学，只有当它达到了能运用数学的时候，才算真正的发展了.”所以用数学去武装各门自然科学和各种技术科学，是这些科学向更高阶段发展所必需的.在科学发展史上，数学是由实验科学进入理论科学所必须的工具，比如，牛顿把他的微积分方法应用于研究力学，使力学面貌为之一新.今天高度发展的数学已经开始深入到各门科学领域，开始了科学数学化的新时代.

【参考文献】

[1]赵树嫄.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2007.