例谈数学思想方法在课堂教学中的应用

邵亚斌

摘要 在高等教育的体系中高等数学教育有很重要的地位，数学思想方法的教学以及体验在整个高等数学教学过程中对培养学生严谨的科学态度和积极的创新意识起着很重要的作用。从高等数学中“存在性”的教学以及博弈论中的一个经典例子为教学案例，引导学生体验并学会数学思想方法的作用。让学生在学习知识的同时，能够学会猜想及去验证猜测的正确性。

关键词 数学思想方法 高等数学 课堂教学

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.07.051

传统的高等数学教育中，高校教师重视数学知识和数学解题技能的讲解，而一般不会涉及“数学思想”的讲解，但是数学学习的真谛应该是学习数学思想，学生在实践中的任何领域都可以运用数学思想。在传统的数学教育中，我们只是一味地强调知识的记忆、熟练的程度以及解题方法与技巧的掌握程度，这样让学生很容易产生挫败感而对失去学习数学的兴趣，所以，在网络发达的今天，在“互联网+教育”背景下，推进高等数学教学改革，尤其是课堂教学，广大教师应当充分利用网络环境，充分利用合作参与式教学方法，加强并重视数学思想方法的养成教育，对提高学生的学习主动性、掌握知识的有效性以及创新能力的持续性有着十分重要的意义。

1数学思想与数学方法在高等数学教学中的作用

（1）数学思想与数学方法是大学生的数学知识向数学观念转化的基础，也是高校素质教育的重要途径。任何知识都必须形成一个系统的知识体系，最终在认得大脑里形成基本的观念，数学也必须遵循这个规律，但是要将书面的、固有的数学知识转化为内在的、科学的数学观念，在课堂教学中，教师在讲清基本数学知识的同时，还应当给学生灌输有关的数学思想与基本的数学方法。例如数学知识产生的实际背景，与邻近数学知识、学生已有知识以及相关学科的辩证关系等。学生通过了解数学思想，他们能够形成自己的数学精神，最终实现我们的数学素质教育。

（2）加强数学思想方法的教学，是提高教学质量和培养学生的数学意识与科学素养的重要途径。高等数学知识不仅包括了各种概念、各种运算法则、各种理论和在物理甚至其他学科中的基本应用，同时还包括这些概念、运算、定理的深层所反映出来的美妙的数学思想和令人惊叹的数学方法。在课堂教学过程中，教师应当充分利用现代教育技术，通过设计和谐巧妙的课堂情景，利用启发式、问题体验式、合作参与式的教学方式，关注学生碎片化的获取知识的方法，引导学生从基本的数学概念与数学方法出发，进一步揭示数学知识所包含的实际背景以及其产生、发现和发展的过程，才能把数学中的各种概念和原理彻底掌握，学生所学到的高等数学的知识才可能是完整的、可利用的和深刻的“活水”。在教学过程中，有意识地渗透数学思想，有意识地加强数学史的教学、有意识地呈现某一个知识点的问题及发展前景，有意识地加强与某一些知识点有关的现代研究的方向与前沿，无不对学生的学习兴趣、学习方法以及培养他们的科学精神有着不可替代的作用。

（3）加强数学思想方法的教学，是培养学生的创新能力和数学应用能力的重要途径。数学思想方法是随着数学的发展而发展的。历史上数学中的突破性发展总是伴随着数学思想方法的变革，牛顿之所以创立微积分，黎曼之所以创立流形几何，庞加莱之所以提出了著名的猜想，不仅在于数学知识的积累，最主要的是这些伟大的数学家在数学思想方法上采取了革命性的创造。因此数学思想方法是进行数学研究，发现数学问题、总结数学发展规律的概括，从而成为数学学科本身发展和创新的基础与源泉，更为其他科学与技术的进步提供了理论基础。纵观数学历史每次数学发现都是数学思想方法出现了变革，因此数学思想的教学可以指导学生自主地运用数学思想与方法去解决问题，有利于培养和提高大学生的数学创新思维与解决问题的能力。

2加强数学思想方法的具体运用

2.1从高等数学中的“存在性”体验数学思想方法

关于存在性问题，古希腊曾经有一个非常典型的几何学难题：能否以相同的形状使体积增为两倍？这个问题曾经难倒很多哲学家、几何学家（当时希腊几何学的作图工具只有圆规和直尺），因为他们认为能够以相同的形状使体积增为两倍。因此才找不到正确答案。这个问题直到19世纪被证明了不可能做到而宣告结束。这个问题告诉我们，不是所有的问题都存在答案。当一个问题被提出时，我们要敢于质疑，敢于创新，直觉有时候会把我们带入误区。在企业内部，每一项新技术的产生，都要经过大量的测试才能应用，这便是数学思想的再现。如果在做题之前不思考这个问题是否存在解，那么对于一个根本不存在解的问题，就会做了很多的无用功。在高等数学教学过程中，存在性问题处处可见，例如：经常需要思考“极限是否存在？函数是否可导？”等，教材中的习题偏重于巩固知识点，多以计算为主，开放型题目很少，所以需要教师充分引导，或参与课题，体味数学思想的严谨性。

2.2从博弈论的经典例子体会数学思想方法的运用

博弈论是利用数学的方法来研究两个或多个决策者的相互行为所发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题的一门学问，是一种专门研究各种博弈行为中所有参与方是否存在最合理的行动或者解决方案，以及怎样找到均衡解的数学理论和方法。

博弈论的经典例子“价格大战”内容是：A、B两个商家垄断生产一种商品，如果两家都维持高价，则各得到11万元的高额利润；如果一家降价，另一家不降价，降价的利润增加到12万元，不降价因失去市场而骤降至2万元；如果两家都维持低价分别得到7万元的高额利润。具体模型见表1：

矩阵表1中，首先分析矩阵中数据的变动，在博弈中，一方降价另一方不降价时，降价者则会因为得到更多的顾客从而使单位产品的固定成本降低，利润增加，相反，不降价者会因为失去大批顾客而导致单位产品的固定成本增加，利润自然降低。若双方同时降价，虽然单位产品的固定成本不变，但单位产品的利润下降，导致双方的利润同步下降。

用箭头法求解博弈矩阵，先从策略组合（高价，高价）出发，在该策略组合中，商家A、B的得益均为11，商家A和B都认为，如果单独改变自己的策略就可以增加自己的收益（从11变成12），因此，商家A会改变自己的策略，是原来的策略组合（高价，高价）变成（低价，高价）。用从前一个策略组合的得益数组，指向后一个策略组合的得益数组的箭头表示这种倾向。同理，商家B为了增加自己的利润，也会单独改变自己的策略，使策略组合（高价，高价）变为（高价，低价），用箭头表示这种变化的趋势。如表2所示。

由表2可知，（高价，高价）这个策略组合不稳定，但如果策略组合有（高价，高价）变为（低价，高价），商家A会满足自己的得益，不会做任何的改变，但商家B却会改变自己的策略，使自己的收益从2到7。同理，如果策略组合从（高价，高价）变为（高价，低价）。商家B会很满足自己的得益，商家A却会改变自己的策略使自己的得益从2到7，仍用箭头表示这种变化的趋势。如表3所示：

从表3得到在策略组合（低价，低价）下，商家A与B都不会再改变自己的策略，因为无论任何一方改变策略都会使自己的得益变得更低，所以双方都不愿意打破这种平衡，则（低价，低价）就是该博弈的均衡解。

从矩阵表1中，可以得到（高价，高价）是两个商家合作的最优战略，但为何最后的纳什均衡解时（低价，低价）？这是因为博弈双方选择对自己而言最优策略，都为了追求自己利益的最大化，结果导致最终的解不是对双方最优的结果。

从而得到：直觉有时会使人走进误区，不能只看到表象，要培养严谨的科学态度和数学思想。

3结语

数学思想的教学效果不能被量化考核，但是其对提升学生的数学学习能力和创新意识的效果是很明显的。数学思想能够让学生认识到数学知识的内在意义和知识形成的来源背景，而不只是对已有的、枯燥的数学知识的记忆。在高等数学教学过程中，我们应该加强和重视数学思想方法的教学以及研究工作，这样不但有利于提高学生的数学素养，对学生以后学习其它课程也是很有帮助的。