高中数学教学中类比思维的应用实践

石爱琴

【摘 要】类比思维是一种缜密的推理思维，在高中数学这样重要的学生逻辑思维培养阶段，将类比思维融入到高中教学与实际解题应用中来强化数学概念，能加强学生的联想能力，提高他们的类比分析思路，激发学习兴趣，深化教学内容，减少学生对于新知识的距离感。本文就简要的探讨一下类比思维的高中数学解题应用与教学实践。

【关键词】类比思维 数学教学 解题思路 教学设计 应用

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）08B-0109-02

在德国，著名心理教育学家Herbart认为类比思维融入到数学教学中应该分为四个阶段，理解、联想、系统和方法。这四个阶段表明了从意识形态上的联系，对比，到真正的系统实践与练习的一个过程。它让学生对数学知识理解更加深刻，运用更加熟练，记忆更加牢固。所以说，类比思维与数学教育凸显了联想与联系的重要性，它锻炼了人的思维灵活性。

一、类比思维在数学教学中的应用

通过初中数学的基础教育之后，高中数学已经进入了一个知识层面较为高端、概念相对抽象的学习阶段，相对来说解题思路更加难以理解。不过从数学思维逻辑来看，概念与解题方面是有许多类似之处，如果利用类比思想进行教学，进行新旧知识的属性对比，引导学生温故知新，在旧知识的基础上累积新知識，就可以构建一个稳固的数学知识体系，形成所谓的类比联想。这样一个数学化的联想过程就是类比思维的雏形，它是一个知识体系再创造的过程。

高中数学讲究对学生独立思考能力的挖掘，如果能合理运用思维方法，就能学好数学，因为高中数学虽有一定难度，但是它知识点的内在联系还是很丰富且有一定规律的，特别是蕴含于其中的类比思维解题方法。它能够启发和引导学生去进行类比学习，联系知识点展开解题思维，从概念的深处挖掘和摸清知识与知识之间的关系，看到题目的“灵魂”，这就是类比在解题过程中的作用。

就拿等差数列来举例，用等差数列类比等比数列，它的定义是前者为后项与前项之差，而后者为后项与前项之比，所以这就是等差与等比的类比思维，我们将等差数列中的一些实用性质放入到以乘法类比的等比数列中。

比如在等差数列{bn}中，假设有正整数数列m，n，h，k，如果h+k=m+n，那么就可以推理出bh+bk=bm+bn，如果k=h，那么bm+bn=2bm+n/2。在此公式中，bm与bn就是等差中项。

在等比数列{dn}中，假设有正整数数列m，n，h，k，如果h+k=m+n，那么就可以推理出dh×dk=dm×dn，如果k=h，那么dm×dn=d2m+n/2。在此公式中，dm与dn就是等比中项。

以上就是类比思维下的等比数列与等差数列之间等比性质的类比算法。在引入类比思维的数学学习中，理解与记忆十分重要，它能够提高学生的推理逻辑能力，充分理解诸如上述这样的数学题目。

二、运用类比思维的高中数学教学实践

（一）类比数学教学设计思路的三个阶段

阶段一：寻找类比源，教师通过整理当堂所讲内容从教材中寻找类比源，然后根据学生已学习到的知识，在已有的学习体系结构上建构有类似属性的新知识，这就是寻找有类似属性的类比源。

阶段二：寻找有效的类比条件。这一环节就是引导学生从旧的知识架构向新知识结构转移，也是一种类比的循序渐进的模式。这一环节应该先带领学生做好过往知识的复习，然后在寻求突破口来寻找新知识与旧知识的内在逻辑联系，最后将知识点联系起来，这有助于学生的更深层次理解。

阶段三：在教授了新的知识后，要对其进行验证。验证的内容就是对类比结果的验证，证明新旧知识之间是否具有必然性，验证新知识与旧知识的类比结果是否具有可行性和可信性。如果类比结果出现异常，应该重新验证过程，为学生理清思路，进一步加深学生对于新知识的理解，关键是对知识体系的架构。

以上三个阶段就是高中数学教学中融入类比思维的抽象教学流程，它将观察、比较、分析和联想一一归纳于一体，然后通过类比思想提出了种种猜想并加以验证，具体情况结合数学题目具体分析，在教授新知识的时候重点以寻找它与旧知识的联系作为切入思路，在唤起学生对旧知识回忆的同时，也加深了学生利用旧知识来解决新题目与巩固新知识的积极性。

（二）数学教学的结构相似性类比推理

高中数学公式较多且抽象，所以学生记忆起来会比较吃力。一般教学中只注重公式的推倒过程，却忽视了给学生的实践实践。在新课改背景下，运用类比思维进行数学推理更能培养学生合情推理的能力，这其中就包含了归纳和演绎，是一种类比推理能力的综合表现。比如说对圆柱体体积公式的类比推理教学中就可以这样进行教学设计，如下：

首先要进行类比教学的准备程序，引导学生在已学过的知识体系中寻找到类比的“本源”问题，在教师的问题设计引导下来寻求公式的解决方式。比如说在长方体的体积计算过程中，教师就可以首先利用视频演示来进行相关的立体展示，帮助学生较为直观的回忆起旧知识体系。

接下来就是类比教学的实施过程。此过程中，教师可以利用20本书进行对比试验，让学生动手的同时也动脑，较为直观的看到两个有效类比条件之间的关系，从而得到主体的体积计算公式。比如说，将20本相似的书摞成两个柱体，并让学生将其中一摞书成斜向放置。此时教师就可以提问这两个由书形成的柱体虽然不同，但是体积有没有发生变化，斜向柱体的体积计算是否可以用类似长方体的体积展开公式计算呢？考察学生对于柱体变化之后，对公式的应用和变通能力。

另外，教师也可以将硬纸才成圆形和三角形，并分别摆成相同的高度，形成两个立体几何体并展开提问，求问两个几何体是否是学生们所认为的柱体？两个柱体的体积是否相等？并且给出依据。

这一类比思维下，学生能根据柱体本身的结构相似性，通过课堂实验中的直观感受，并借用长方体的体积运算公式进行类比，思考两种相同纸张，不同形状的两个几何形状之间的体积关系，最后得出结论。上述两个实验过程就能验证出类比的结论，从而帮助学生加深对长方体体积计算公式的深层次理解。

（三）具体的教学设计

应用1

1.教学重点

利用类比思维融入到对数函数的性质理解与学习中，从而掌握对数函数的单调性与定义域，最终做到可以利用对数函数性质来比较函数之间的大小。

2.教学策略

在此教学设计中，教师作为学生学习的辅助者，充分引导学生的自主能动性，为他们渗透函数数学思想，鼓励他们自觉的去发现类比思维在对数函数中的应用。最好以分组学习的方式，增加学生之间的互动，从而增强他们的求知欲望。

3.教学过程

教学过程主要就是学生分组进行小组内的画图合作，探析类比归纳的性质，并通过共同解决例题来学习对数函数。

4.教学设计意图

高中数學函数具有一定难度，学生往往在运算中出错，所以应该通过例题来考察学生对对数函数的全面理解，尤其是对定义域与底数范围的理解。

例题1 如果函数y=f[lg（x+1）]的定义域为（0，99），此时求函数y=f[log2（x+2）]的定义域。

通过例题1，教师要引导学生对类比思考进行复习，从函数定义域的角度让学生重新回忆起对对数函数的基本定义与定义域的性质概念，结合旧知识解答例题1。

解：由于0应用2

用类比思维教学渗透和引导学生以正确的方法进行解题失分重要，它考验了学生自己探索和研究的能力。高中数学知识体系讲求不同的体系有不同的知识点构成，学生往往会形成知识点过于繁杂的厌倦抵触心理，也很容易忘记之前学过的某些知识点，如果用不同的数学知识将这些知识点串联起来，并找到他们的相似之处，就能够让新旧知识点形成新记忆，让学生不容易忘记。

例如在不等式的学习中，有这样的习题：当x，y，z为区间（0，1）内的值时，证明x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1成立。那么根据区间关系就能知道，如果（1-x）（1-y）（1-z）>0，就可以通过上述假设成立公式进行结合，得到x+y+z-xy-yz=zx<1-xyz<1，用类比的思维将两式联合，就可以得到以上结论，左边的公式恰好为假设公式中左边的式子。

通过上述两个例子可以知道，类比思维并不是一下就能形成的，而是需要经历一个过程。学生学习数学思维的形成往往会因为外界的环境影响而发生不同的变化，包括对自身的认知与改变，所以要提高数学教学的质量，就要灵活运用类比思维，在打好学生高中数学的基础之上，引导学生进入类比思维解题模式。类比思维是能够形成创新性的最直接途径，若能掌握它，学生也能从中得到新的启发，并找到突破数学学习瓶颈的捷径。

综上所述，在数学教学中灵活合理的运用类比思维，对数学这种注重逻辑思维的教学来说会达到事半功倍的效果，还能够充分锻炼学生的数学思维。

【参考文献】

[1] 倪兴龙.类比思维在高中数学教学和解题中的运用考述[J].语数外学习（数学教育），2013（2）

[2] 杜长固.类比推理在高中数学教学实践中的应用研究[J].中国校外教育（上旬刊），2013（12）

[3] 肖娜.类比思想在高中数学课堂教学中的应用研究[D].华中师范大学，2014

（责编 罗汝君）