补 形——求解三棱锥外接球半径的一条重要途径

崔 磊

（江苏省平潮高级中学）

在立体几何的学习中，经常遇到求解三棱锥外接球体半径的问题，此类问题往往球心的位置难以找到。我们知道，棱锥是柱体的一部分，因此，在求三棱锥外接球体的半径时，通过“补形”，将锥体还原成柱体，有时能起到柳暗花明的效果。常见的“补形”方法有下列几种.

例1. 已知三棱锥P-ABC 中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=3，PB=4，PC=5.则其外接球体的表面积为________.

思路：补成“长方体”

解析：三棱锥P-ABC（图1）可以补成长方体，且它们拥有相同的外接球体（图2），再过长方体的一组对面上的对角线作轴截面得一圆的内接矩形（图3）.其中矩形的一边为原长方体的棱，另一边为原长方体的面对角线，而该矩形的对角线则为球体的直

图1

图2

图3

例2.已知一正四面体的棱长为4，则其外接球体的体积为________.

思路：补成“正方体”

解析：由于连接正方体的六条面对角线可以形成一个正四面体，因此，可将正四面体补成一个正方体，且它们拥有相同的外接球体（图4）.再过该正方体的一组对面上的对角线作轴截面，易得外接球体的半径为，从而其体积为

图4

例3.已知三棱锥P-ABC 中，底面ABC 为正三角形，边长为2，侧棱PA⊥底面ABC，且PA=2，则其外接球体的半径为 .

图5

图6

图7

思路一：补成“直三棱柱”

思路二：补成“圆柱”

图8

图9

总之，“补形”是求解三棱锥外接球体半径的一条重要途径，且通常可补成上述几种模型。“补形”应遵循“拥有相同的外接球体”的原则，在此基础上，还要选择好恰当的位置作出截面，将抽象的空间问题转化为熟悉的平面问题，关系也就简单明朗多了。