利用微软Math3.0设计教学《函数y=Asin（ωx+φ）的图像》

李 晶

（陕西省西安中学）

函数y=Asin（ωx+φ）是三角函数一章中的重点和难点。这节课如果只采用传统的板书教学，不仅作图量大，而且要在同一坐标系中作出多个精确的图像比较困难，不利于引导学生从感性认知快速准确地上升为理性认知。为了提高课堂效率，一些老师采用几何画板辅助教学，变静为动，变抽象为直观，这样比单纯板书作图效果好，容易突破学生理解上的难关。但是，在实际教学中，很多教师并没有采取这种先进的手段，除了教学观念、态度等的原因外，有一个关键原因是不能熟练应用几何画板，所以笔者想借助另一种更易上手的软件——微软Math3.0 来设计本节课。

微软Math3.0 是微软公司近些年发布的一款功能强大的数学软件，比起几何画板，它更易上手，一般试用一两次就会使用，不仅能给老师们带来便捷，还能成为辅导学生课后研究的好帮手。

对于《函数y=Asin（ωx+φ）的图像》一课，利用微软Math3.0 可以辅助提高教学效率。下面就教学方法和主要教学过程作以详细阐述。

一、教学方法

采用探究发现法，以物理中的实例为切入点，激发学生的求知欲，将信息技术融入整个教学过程中，将函数图像的变化过程直观动态地展现给学生，通过引导学生进行观察、思考、猜想、验证、归纳等数学活动，培养学生的探究能力、分析问题的能力以及抽象概括的能力。函数y=Asin（ωx+φ）涉及3 个参数，先逐一探究各参数的作用，然后再将三个参数综合起来，使学生体会先局部后整体以及由特殊到一般的思想方法。

二、教学过程

1.设置情境，引入课题

教师：在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函数，例如，在简谐振动中位移与时间表示的函数关系就是形如y=Asin（ωx+φ）的函数。那么，这个函数和正弦函数y=sinx 有什么关系？换句话说，参数A、ω、φ 对y=Asin（ωx+φ）的图像有什么影响？

学生讨论交流并回答：先分别考查A、ω、φ 对y=Asin（ωx+φ）的图像的影响，然后再综合分析y=Asin（ωx+φ）和y=sinx 的关系。

设计意图：培养学生先局部后整体的思想。

2.启发思考，探究新知

探究1：A 对y=Asinx 的图像的影响

设计意图：通过让学生自己作图，复习“五点作图法”并寻找图像间的关系，让学生体会研究三角函数问题的方法，培养学生数形结合的思想和分析问题的能力。

教师引导学生分析特殊点的坐标变化和以上三个函数的联系，不难得出：y=Asinx，x∈R（A＞0，A≠1）的图像可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A 倍得到的。

学生探究y=Asinx（A＞0，A≠1）的性质：与y=sinx 作比较，定义域、奇偶性、单调区间、周期性均没有发生变化；值域和最值发生了变化，y=Asinx 的值域为［-A，A］，最大值为A，最小值为-A。

教师：由以上讨论可以看出，在函数y=Asinx（A＞0）中，A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅。

探究2：φ 对y=sin（x+φ）的图像的影响

图1

教师先引导学生观察特殊点坐标的变化（点击trace 开始按钮

教师将φ 的值调回到0（此时y=sin（x+φ）即为y=sinx），点击拖动滑块向右滑动，让学生观察当φ＞0 时，y=sinx 的图像怎样移动；再将φ 的值调回到0，拖动滑块向左滑动，让学生观察φ＜0时，y=sinx 的图像怎样移动。

学生讨论交流φ 对y=sin（x+φ）图像的影响，并归纳：函数y=sin（x+φ）的图像可以看作把正数曲线上所有的点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移个单位长度得到的。

学生探究y=sin（x+φ）的性质：与y=sinx 作比较，定义域、值域、最值、周期均没有发生变化；奇偶性和单调区间发生了变化。

教师：在函数y=sin（x+φ）中，φ 决定了x=0 时的函数值，通常称φ 为初相，x+φ 为相位。

探究3：ω 对y=sinωx 的图像的影响

探究方法类似探究2，此处不作详细说明。注意在探究过程中指导学生思考“为什么ω 变大，图像反而横向收缩；ω 变小，图像反而横向拉长了？”

探究4：如何由y=sinx 的图像得到y=Asin（ωx+φ）的图像

对于这个问题，学生容易在平移和横向伸缩变换上出现问题，分不清先左右平移后横向伸缩和先横向伸缩后左右平移有什么区别，例如，有的学生选择了先进行横向伸缩变换，然后理所当然地认为接下来把图像“左移个单位长度”。为了纠正学生认识上的错误，教师可以利用Math3.0 作如下演示：

（1）利用Math3.0 的Graphing 功能在两个函数输入框中输入y=sinx（作为对比图）和y=Asin（ωx+φ），作出它们在同一坐标系中的图像（此时A=1，ω=1，φ=0，并将A 的取值范围设置为［0，3］）；

（2）将ω 的值由1 调为2，可以看到函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，函数图像动态地变为y=sin2x 的图像；（3）将φ 的值由0 调为0.52（的近似值），可以看到y=sin2x的图像向左平移了0.26（的近似值）个单位长度，得到函数y=的图像；

教师：刚才演示的变换过程是先横向伸缩变换后左右平移变换，再纵向伸缩变换（说明：纵向伸缩变换也可以放在最前面或者中间进行，不影响最终结果），现在我们把横向伸缩和左右平移这两步变换的顺序倒过来，同学们注意观察图像的变化。

图2

教师用Math3.0 演示如下：

（1）同前一种变换第1 步；

（4）同前一种变换第4 步。

在观察图像变化的过程中，教师引导学生思考“对比前一种变换，它们有什么不同？为什么会产生这种不同？”

学生不难得出：如果先横向伸缩后左右平移，则平移的长度不再是个单位长度，而是个单位长度。但是，有些学生对这其中的原因不理解，所以教师可以补充说明：如果记（fx）=sin2x，则，我们学过由（fx）的图像得到的图像，只需把（fx）的图像向左平移个单位长度，所以要得到的图像，应该把sin2x 的图像向左平移个单位长度。

最后，教师引导学生梳理知识，总结由y=sinx 的图像得到y=Asin（ωx+φ）的图像的两种变换方法。

以上是对《函数y=Asin（ωx+φ）的图像》一课的主要内容的设计。Math3.0 软件是一种便捷的数学教学工具，合理地使用它可以给我们的数学课堂带来活力，提高教学效率。