褐飞虱种群模型的参数估计



褐飞虱种群模型的参数估计

高 晓 婷，朱 成 莲

(淮阴师范学院 数学科学学院，江苏 淮安 223300)

摘要：褐飞虱是水稻生长过程中的重要害虫，近些年来对水稻产量的影响逐年加重。对组建褐飞虱两参数威布尔模型,利用最小二乘法和极大似然来进行参数估计以及提出两参数威布尔分布中参数的极大似然估计量的一种简单有效的迭代求解方法，将有利于理解和预测褐飞虱的种群动态。

关键词：褐飞虱，威布尔分布，最小二乘法，极大似然估计

1引言

水稻是世界上最主要的三大粮食作物之一,全世界二分之一以上的人口以水稻为主食，同时也是我国最主要的栽培作物之一。水稻的丰收与否关系到世界人口的粮食安全。然而褐飞虱却是水稻生长过程中的严重虫害威胁，它是目前我国水稻主要的迁飞性害虫。同时也是影响我国水稻稳产、高产的主要虫害之一。褐飞虱频繁爆发和再增猖獗的现象迫使人们考虑应如何建立起更加完善的综合治理体系。所以在虫害发生前进行可靠性的预测，有利于水稻产量的提高，降低治理虫害的费用，在一定程度上可以降低对化学防治方法的依赖。威布尔分布函数作为一种可靠性模型，可以用来研究稻飞虱成虫繁殖率、若虫存活率和进龄率等[1]。本文运用最小二乘法和极大似然估计原理对褐飞虱生长模型的参数进行推导计算。

2褐飞虱模型

在组建生命系统为特征的害虫种群预测模型过程中，种群的出生、存活和发育速率是三个最基本的生物学参数。黄建义，李汝铎，丁锦华等采用威布尔分布函数描述褐飞虱雌虫产卵量的时间序列分布和若虫进龄速度[1]。威布尔分布函数表示为

(1)

图1：威布尔分布的分布函数

F(t)为不同天数稻飞虱雌虫累计产卵百分率。t为天数,b和c就是要求得的参数。并且由(1)可以得到威布尔分布的密度函数。

即

我们可以从威布尔分布函数的曲线呈单调递增现象，随着天数的逐渐增多，稻飞虱的雌虫累计产卵量也逐渐增多，但是随着时间的推移产卵量最终趋于基本稳定。并且当尺度参数b一定时，形状参数c的不同取值威布尔分布模型获得不同的曲线形状，它们之间同样呈现很大的区别。

3最小二乘法

y=ax+b.

当总偏差为

最小时，来估计参数a，b的方法[3]。

描述褐飞虱雌虫产卵量的时间序列分布和若虫进龄速度的两参数威布尔的累积分布函数为

对(1)式两边进行变换后得

令

且

x=lnt,

那么有

y=cx-clnb

(2)

褐飞虱分布函数经过变换为公式(2)，满足最小二乘法的回归方程。

令

-clnb=m

则

y=cx+m，

为使

最小。

令

把这组关于c,m的线性方程组加以整理得

为进一步确定该点是极小值点，通过计算可得

C=fbb=2n,

其中

xi=lnti.

上述一系列的计算和推导过程是基于使用威布尔两参数的最小二乘法来展开，确定最佳的参数值。在一定程度上说明，恰当的选用褐飞虱分布函数数据和最小二乘法的方法可以提高对威布尔分布函数的参数可靠程度预测，这些理论对合理预测水稻稻飞虱虫害的成虫繁殖率和若虫存活率，制定合理的预防方法，提高我国的水稻产量具有一定的意义。

2极大似然估计法

极大似然估计，是一种概率论数理统计学学科上的应用方法，它是参数估计的方法之一。它说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚。参数估计是通过若干次试验，观察试验的结果，利用结果推出参数的大概数值。极大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值[3]。

威布尔分布适用于对稻飞虱的繁殖率、若虫存活率等田间种群的预测。当我们获得稻飞虱样本的相关试验数据时,为了对两参数威布尔分布的(b,c)做出较为恰当的预测,这时也可以选用极大似然估计法。然而因为对b,c参数方程的极大似然估计是一种超越方程,在推导计算过程中我们很难通过运用简单的代数方法去求解它们的数值,所以给农业相关预测部门带来了极大不便利,一定程度上也影响了极大似然估计方法在实际生活生产过程中的推广和应用。下面我们将提出两参数威布尔分布中参数的极大似然估计量的一种简单和有效的迭代求解方法。

从稻飞虱成虫繁殖率和若虫存活率的数据中随机抽取一些数据，若去掉一些异常数据后，稻飞虱模型的威布尔分布两参数,抽取λ次试验结果

t1,t2,…,tλ,

则试验数据的似然函数为

对对数似然函数进行求导

解得

(3)

方程(3)是一个超越方程组，不能用代数法求解。

下面给出一个简单、有效、快速的迭代算法,具有一定的实用价值。

迭代算法为

其中

采用这个迭代算法求得参数过程简单、便于理解、实用性较强。

经过上述的计算过程，确定最佳的参数值。在一定程度上说明，恰当的选用褐飞虱分布函数参数，预测褐飞虱发生动态。以此作为确定最佳防治时期的依据。它使治虫工作得以有目的、有计划、有重点的进行，从而达到从虫口中夺回大量农产品，保证农业经济持续、高效的发展。提高我国的水稻产量具有一定的意义。

〔参考文献〕

[1]黄建义,李汝铎,綦立正,丁锦华.Weibull分布函数和Rayleigh密度函数在组建褐飞虱种群预测模型的应用[J].中国水稻科学，1989，3(2):67-72.

[2]徐微,胡伟明,孙鹏.基于两参数威布尔分布的设备可靠性预测研究[J].中国工程机械学报，2013，11(2):111-113.

[3]贾俊平.统计学(第三版)[M].北京：中国人民大学出版社，2010.310-313.

[4]费鹤良,陆向薇.两参数威布尔分布可靠度和可靠寿命的精确置信限[J].高校应用数学学报，1986，1(2):236-238.

Parameter Estimate of Brown Planthopper Populations Model

GAO Xiao-ting，ZHU Cheng-lian

(School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University，Huaian 223300)

Abstract:Brown planthopper was a serious pest of rice crops, which resulted in field loss increasing year by year.Two parameter Weibull model was set up.The parameters are estimated by using the least square method and A iterative method for the maximum likelihood estimate of the two parameters in the two parameter Weibull distribution is presented ,which is simple and efficient.It was useful to understand and to predict the population dynamics.

Key words:brown planthopper;Weibull distribution;least square method;maximum likelihood estimation

中图分类号：S11+.4

文献标识码：A

文章编号：1004-1869(2015)02-0019-03

作者简介：高晓婷(1990-)，女，江苏省宿迁市人，研究方向：数理统计。

基金项目：江苏省淮安科技支撑(农业)项目(SN13050)

收稿日期：2014-12-24