基于最小二乘拟合的太阳影子定位模型

张印　李伟东　杨洋

【摘 要】本文针对2015年全国大学生数学建模竞赛A题[1]中的第2问，依据最小二乘原理，并利用实际测定的参照物的影子长度随时间变化的数据，建立了确定图片拍摄地点的优化模型。在Matlab环境下编程求解，得出参照物的经纬度。将此经纬度作为已知数据，重新计算参照物的影子长度，并与实测数据进行对比，发现二者基本吻合。说明模型是合理有效的。

【关键词】最小二乘法；太阳高度角；太阳影子定位模型

1 问题背景及提出

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面。其中一种简单的情形是：根据相关影长数据确定参照物位置，这一技术也称为太阳影子定位技术。在本文中，根据2015年全国大学生数学建模竞赛A题附件1的数据[1]，确定出该地点的位置。

2 影长与时间的函数关系

2.1 影响影长的各个参数

太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，可以用太阳高度角来估计影子场电影。太阳高度角h与实测地的地理纬度θ，太阳直射角纬度φ，时角Ω满足以下函数关系式[2]：

太阳直射点每时都在向西移动，每小时移过15度经度，在地理题的计算中可粗略取每天移动0.25度纬度[3]。据此求解出太阳直射角纬度与日期之间的关系，进而通过MATLAB编程，得到了每天太阳直射点的纬度，部分表见表1，在 4 月 18日的太阳直射点纬度为φ=7。

将H，φ中的数据代入（5）中，用 MATLAB 编程计算，我们得到 21 个时间点所对应的经度位置，我们发现，这 21 个经度变化都十分小，故我们经度该位置的经度就选取求出的 21 个经度的平均值，得到 4 个经度，进而得到四个固定直杆可能所处的地理位置：（18.24N，105.9528E），（18.24N，37.4972E），（7.3969N，107.1988E），（7.3969N，36.2512E）。

4 地理位置的检验

根据测定的关于x，y 的坐标，我们发现随着时间的增加，影子长度也在不 断增加，说明当地时间已经过了正午时间 12：00，而此时的北京时间为 14：42-15：42，结合北京时间以东八区 120 度为标准，每向西 15 度，当地时间往前 1 小时的规律，我们计算出在79.5 E 时，北京时间为 14：52，当地时间恰好为12：00，因此我们所确定的经度必须大于 79.5E。进而确定可能的地理位置为：（18.24N，105.9528E）和（7.3969N，107.1988 E）。

根据地图确定地理位置为（18.24N，105.9528E）的地点为越南，地理位置为（7.3969N，107.1988E）的地点为泰国湾（为靠近马来西亚的一个海峡），故这个位置不符合我们的标准，故我们确定的直杆所处位置大致在越南。

5 模型的检验

我们将所确定的地理位置代入关于太阳高度角的式子（5）中，画出 14：42-15：42的影子长度的变化曲线l1，同时拟合出附件 1 中影子长度随时间变化曲线l2 ，两者之间的误差e=||，可以这21个时刻的误差分别为：0.0004，0.0005，0.0005，0.0006，0.0006，0.0006，0.0006， 0.0006，0.0006，0.0006，0.0005，0.0005，0.0005，0.0005，（下转第130页）（上接第136页）0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004。两条影子长度随时间变化的曲线（见图1）。

【参考文献】

[1]http：//www.shumo.com/2015cumcm.html[OL].

[2]http：//baike.baidu.com/view/86609.htm[OL].

[3]http：//baike.baidu.com/link？url=_aUuZtIGSo3DBZgjWiSGC2NqH9NNBjEcXX37 JYu5MWsF6M22qioNdjuY81eNjeP31LlpvJKTBhf_ePWF9g5CXa#1[OL].

[4]王国安，米鸿涛，邓天宏，李亚男，李兰霞.太阳高度角和日出日落时刻太阳方位角 一年变化范围的计算[J].气象与环境科学，2007，30：161-163.

[5]http：//wenku.baidu.com/view/f8fb67f481c758f5f61f6749.html？from=search[OL].

[责任编辑：杨玉洁]