永磁转子偏转式三自由度电机电磁系统的建模与分析

李争,　薛增涛,　孙克军,　王群京,　张玥

(1. 河北科技大学 电气工程学院, 河北 石家庄 050018; 2.安徽大学 电气工程与自动化学院, 安徽 合肥 230039)



永磁转子偏转式三自由度电机电磁系统的建模与分析

李争1,薛增涛1,孙克军1,王群京2,张玥1

(1. 河北科技大学 电气工程学院, 河北 石家庄 050018; 2.安徽大学 电气工程与自动化学院, 安徽 合肥 230039)

摘要:针对新型永磁转子偏转式三自由度电机复杂的结构和自转与偏转相结合的运动模式,从能量的角度利用解析法对气隙处磁场分布情况进行分析,并对不同转子极数下谐波含量和磁场变化进行计算比较。通过磁场的分析结果得出电机定、转子之间能量传递情况,反映出电机能量转换的两个阶段。采用虚位移法计算电机中的磁能,进而得到不同极数下转矩随电机运动角度的变化曲线,在此基础上分析了对应的磁场谐波变化情况。通过对电机磁场、磁能和转矩的计算,分析了电机的运动情况及性能表现,并将解析法与有限元法模型进行对比,验证了解析模型的正确性。

关键词:多自由度电机; 永磁体; 磁能; 偏转式; 电磁建模

薛增涛(1963—)，男，硕士，副教授，研究生导师，研究方向为电机及其控制技术；

孙克军(1954—)，男，学士，副教授，研究方向为电机设计技术；

王群京(1960—)，男，博士，教授，博士生导师，研究方向为电机及其控制；

张玥(1988—)，女，硕士研究生，研究方向为新型多自由度电机及其控制技术。

0引言

随着永磁材料的不断发展,各种新原理电机的研究发生突飞猛进的发展。永磁电机用永磁体代替励磁绕组,提高电机运行效率。多自由度永磁电机不仅简化了实现多自由运动的执行机构,更提高了执行精度和稳定性,在航空航天、机器人关节等领域具有广阔前景[1-2]。

1997年Sheffied大学的学者利用三个相互正交的定子和两极永磁转子组成了一部能够实现二自由度的电机[3]。1999年德国亚琛大学在此基础上研制出每个轴独立运动的多自由度永磁电机,并进行优化,扩大其运动范围[4]。2002年南洋理工大学提出一种永磁球形直流电机,利用空心定子线圈,避免了涡流损耗,并对电机性能影响因素进行研究[5]。2003年合肥工业大学王群京等人提出双极性永磁球形电机,并针对这种电机的转子位置检测进行深入研究[6-7]。2008年天津大学李洪凤等提出了Halbach阵列型永磁球形电机,并对电机特性进行了深入研究[8]。

随着各种结构的永磁多自由度电机的出现,对电机性能分析的方法也得到了发展[9-16]。在该类电机的分析中,随着电机结构越来越复杂,等效磁路法逐渐无法满足人们对磁场计算准确性的要求,借助软件,数值法分析法得到广泛的应用。解析法也是分析电机磁场的一种有效方法,解析法的主要思路是找到一个连续函数,将该函数及其各阶偏导数带入需要求解物理量的偏微分方程中,得到该物理量通解。再利用边界条件及初始条件的限定,得到特解。解析法结果表达直观、准确,适用于新结构电机性能的机理分析和研究。综合各种情况,本文选用解析和有限元分析相结合的方法对新型永磁转子偏转式多自由度运动电机的性能进行对比分析和预测。

1永磁转子偏转式电机结构

新型永磁转子偏转式三自由度电机,转子采用圆鼓型永磁体,材料为钕铁硼,在转子上N极S极交替排列,定子为圆柱形通电线圈。通过控制两层定子不同位置的线圈通电,使电机实现三个自由度运动。通过在电机外壳上安装支架固定电机转子,采用单杆形球头杆端关节轴承来支撑转子。电机结构如图1所示。

图1　永磁多自由度电机整体结构

2磁场的计算与分析

永磁多自由度电机定转子结构如图2所示。永磁转子偏转式三自由度运动电机能够实现空间内三个方向的运动,在运动过程中,电机内部区域存在由定子线圈和永磁体产生的磁场。该磁场的分布及变化影响着电机的性能及运行状态。对于永磁转子偏转式三自由度运动电机,需要考虑永磁材料的特性,并在三维空间对电机的磁场进行分析。

图2　永磁多自由度电机定转子结构

本文选用解析法分析永磁电机内部磁场,在球坐标系下利用分离变量法对磁场中的气隙磁通密度进行计算[17-18]。

用解析法分析电机磁场即可以转化成求偏微分方程的定解。通过在球坐标系下对拉普拉斯方程进行计算,求得通解,利用边界条件求解未知系数,最后得到特解。

球坐标系下,拉普拉斯方程为:

(1)

设拉普拉斯方程的解为

u(r,θ,φ)=f1(r)·f2(θ,φ) ，

(2)

式中:f1(r)为关于r的函数;f2(θ,φ)为关于θ和φ的函数。将式(2)带入拉普拉斯方程

(3)

上式可转化为

(4)

令式(4)等于n2,则

(5)

(6)

这两个方程的解为

(7)

(8)

因此,球坐标系下拉普拉斯方程的通解为

(9)

根据麦克斯韦方程可知,

B=μ0H，

(10)

H=-。

(11)

cosmφ，

(12)

cosmφ，

(13)

sinmφ。

(14)

式中:R0为转子的外径;R1为定子内径;r为气隙中一点到转子圆心的距离;F1为转子磁动势。

在球坐标系下,转子外气隙处的磁场产生三个方向的磁场,气隙磁密沿φ方向的变化影响电机的自转运动,沿θ方向的变化影响电机的偏转运动。图3、图4为用分离变量法得到的气隙磁密径向分量随φ和θ的变化。

图3　Br沿φ方向的变化(解析法)

图4　Br沿θ方向的变化(解析法)

对于气隙均匀分布的电机,气隙磁密径向分量沿φ方向应为按正弦变化的曲线。如图3所示,Br沿φ方向按照类似正弦的平顶波变化,波形的周期与极对数有关。在不考虑端部效应的情况下,当p=2时,Br在一个周期内出现四个极值,最大值达到0.348 4T;当p=3时,Br在一个周期内出现六个极值,最大值达到0.723 3T;当p=4时,Br在一个周期内出现六个极值,最大值达到0.905 4T。从图中可以看出,Br的极值数量与转子极数相同,符合转子的结构。极值出现在转子两极交界处,说明在N、S极交界处磁场强度最大。从图中可以看出增加转子极数可以增大气隙磁密。

图4为Br沿θ方向的变化,图中显示随着极数的增加,Br的幅值变大,依次为0.342 5T、0.787 3T、1.024 0T。图3和图4中的Br变化均为类似正弦波的平顶波,这主要是由于该磁场中存在空间谐波。将Br的波形进行FFT分析,分析各方向的谐波含量,如图5和图6所示。

图5　Br沿φ方向的谐波含量(解析法)

图6　Br沿θ方向的谐波含量(解析法)

如图5所示,Br沿φ方向的谐波主要为3次、5次、7次、9次等奇次谐波,其中基波含量最高,各次谐波幅值与转子极数无明显关系。由图6所示,Br沿θ方向的谐波含量丰富,其中基波含量最高,在三种不同极数的电机结构中,当p=4时,各次谐波含量与前两种相比明显减少。说明八极转子结构在θ方向所含谐波含量较少。由于磁场中基波含量最高,在电磁转换中起到主要作用,因此将基波进行提取。图7为B1r沿θ和φ方向的变化。

图7　B1r沿φ方向的变化(解析法)

从图7中可以看出,B1r沿φ方向按照正弦波变化,随着p的增大,B1r幅值逐渐增大。当p=2时,最大值达到0.485 2T;当p=3时,最大值达到0.863 5T;当p=4时,最大值达到1.167 5T。与图3相比,可以看出B1r比Br幅值大16.24%到28.19%,两者周期相同,变化趋势相同,B1r比Br更接近标准正弦波。可见,各次谐波降低了磁场强度,削弱了电机的能量传递。图8为B1r沿θ方向的变化。

图8　B1r沿θ方向的变化(解析法)

由图8可得,B1r沿θ方向按照正弦波的前四分之一个波形变化,最值出现在θ=90°,说明B1r在磁体赤道处磁场最强,向两边依次减弱。随着极数的增加,基波含量也在增大。与图4相比,Br和B1r周期相同,变化趋势相同,但幅值不同。B1r在θ方向基波的最值分别为0.532 9T、0.947 7T、1.281T。这说明各次谐波在θ方向上一定程度上增强了磁场强度。下面对不同极数的电机气隙磁场三维分布进行分析,如图9所示,为B1r随φ和θ的变化。

图9　B1r随φ和θ的变化(解析法)

由图9可知,极对数对气隙磁场强度有较大影响,这种影响既包含磁场幅值上影响,也包括磁场周期上的影响。随着极对数的增加,气隙磁场强度也逐渐增加,但并不代表极对数的无限增加即可得到理想的气隙磁场。这既要考虑电机制作加工的难度,同时,随着新型永磁转子偏转式三自由度电机极对数的增加,考虑到电机运动控制的要求,定子数目也要增加,这无疑增加了定子线圈通电策略的复杂度。

3基于解析和三维有限元环境下的电机转矩分析

3.1　电磁能量传递与解析法转矩计算模型

实际中电机通过电磁力来实现机电能量传递,在该新型永磁电机中,气隙的磁场作为耦合媒介和储存能量的磁场,是由永磁转子和定子通电线圈耦合而成的磁场[18]。考虑到该电机的运动特点,将气隙中的磁场分为径向分量和切向分量,分别产生使电机自转和偏转的力。在极坐标系下,气隙中的磁场可以近似认为只存在轴向分量Ez,磁场中存在径向分量Hr和切向分量Hθ。

(15)

(16)

电机中的坡印亭矢量为

(17)

其中,

(18)

Sθ=EzHr。

(19)

(20)

(21)

转子处的磁场强度为

(22)

(23)

式中λ为定转子基波磁动势的相位差。参与能量转换的合成磁场的磁场强度为

Hr=Hr1+Hr2，

(24)

Hθ=Hθ1+Hθ2。

(25)

此时,在永磁电机中定子、转子之间传递的电磁功率为

(26)

式中l为转子的高度。由式(26)可以看出,永磁电机中定子、转子之间传递的电磁功率只与λ有关。

图10为电机的功角特性,当λ=90°时,定子、转子之间的转换功率最大。当λ<90°时,若电机的功率保持不变,由于负载的作用转子上受到阻碍转子运动的力,使λ发生微小变化,此时电机会通过若干个摆动回到初始位置,因此这个区域称之为静态稳定区间。当λ>90°时,电机无法达到稳定状态,开始吸收功率,进入电机的运行状态,转子开始转动,这个区域称之为非稳定区间。

图10　Pm随λ的变化(解析法)

该电机中能量的转换主要依靠电磁转矩和定子线圈中产生的感应电动势。当回路中交链的磁链保持不变时,电机中存储的总磁能为

(27)

式中V为求解场的体积。将这部分磁能产生的转矩分为自转转矩和倾斜转矩两个部分。

Tφ=-∂W/∂φ，

(28)

Tθ=-∂W/∂θ。

(29)

从图11中可以看出,自转转矩在φ方向上按照正弦波变化,一个周期内出现极值的数量与电机的极数相符。随着极对数的增加,自转转矩的幅值变大,周期发生变化。转矩最大值出现在两极交界处,这与磁场的分布相同。与图7相比,转矩和磁场的方向相反,周期相同,极值出现的位置也相同。

图11　Teφi沿φ方向的变化(解析法)

如图12所示,随着极对数的增大,倾斜转矩的幅值变大。当θ=90°时,倾斜转矩为零,往两边依次增大。这说明当定子线圈位于正对转子赤道处时,不能产生使转子倾斜的转矩,因此若要使转子偏转,需要给θ≠90°处的线圈通电。与图11相比,倾斜转矩的幅值为自转转矩的二分之一。

图12　Teθi沿θ方向的变化(解析法)

3.2　有限元转矩计算模型

除了用解析法建立磁场模型外,数值分析法也是分析磁场的一种有效方法。本文建立的电机模型如图13所示。转子永磁材料选择Nd35,相对磁导率设置为1.4,矫顽力Hc为-890kA/m。磁场模型分析的过程中迭代步数为5,在模型上一共划分了167 234个四面体将模型进行剖分,五步迭代计算机共运行42分47秒。将软件仿真出的标量磁通进行径向分量提取,得出径向分量磁通密度。此时的径向分量磁密中包含丰富的谐波,如图14所示。

图13　电机有限元模型

由图14可得,当p=2、3、4时,B1r沿φ方向的最大值分别为0.317 7T、0.645 4T和0.829 8T;沿θ方向最大值分别为0.332 3T、0.749 7T和0.926 1T。与图3、4相比,解析法和有限元法建立的磁场模型变化趋势一致,波形的极值数与电机结构相符。与图9相比,两个方向上的平顶波形两端都有凸起。通过仿真证明,这主要是由于谐波对磁场的影响。谐波含量越多,波形凸起越明显,减小了磁场强度,削弱了电机定子、转子之间的能量转换,降低电机效率。因此,减少电机谐波含量是设计工作中的重要目标。通过转子、定子不同的配组,包括四-六配、六-八配、八-十配的磁场模型对比,可以看出八-十配的磁场中不仅谐波含量较少,而且磁场强度最大,是电机优化的方向。另外,虽然增加转子数量可以削弱谐波,增强磁场,但要考虑电机装配和制造难度,多极转子数量受限。

图14　B1r空间分布仿真图(有限元法)

通过分析有限元法模型,将转子进行角度旋转和偏转,得出图15和图16。将图15和图16与解析法转矩结果相对比,两者较吻合。两种方法计算的转矩变化趋势一致,周期一致,都可以看出极数变化对转矩模型的影响。极数越多,转矩幅值越大。其中有限元法转矩幅值比图11和图12略大,这主要是由于图15和图16计算的转矩模型考虑谐波影响,而图11和图12的转矩模型是在基波分量的基础上计算而得,没有考虑其他谐波。除去这种影响外,解析法与有限元法在数值上仍有一些区别。表1给出了磁场数据的对比,来分析两种方法存在的误差情况。

图15　自转转矩仿真图(有限元法)

图16　倾斜转矩仿真图(有限元法)

通过表1可以看出,两种方法计算的磁场模型在波形趋势上完全一致,在幅值上略有差别。解析法比有限元法在两个方向上值略偏大,最大达到6.62%和5.65%,属于工程合理范围。其原因之一为有限元法仿真的磁场模型中考虑了所有高次谐波,谐波对于电机磁场起到削弱的作用,而解析法中只考虑了6次以下的谐波,因此幅值偏大。另外,有限元法充分考虑了漏磁和电机的端部效应,对于电机边界条件的限定更接近实际模型,而解析法建立的磁场模型是一个简化的模型,计算分析更加直观深入。总体来说,两种模型结果一致,仿真模型的建立充分证明了解析法计算的正确性,满足对电机进行机理分析的要求。

表1磁场模型解析法、有限元法数据比较

Table 1Comparison of the analytical method and

FEM data on the magnetic field model

分类解析法φθ有限元法φθ误差φ/%θ/%p=20.34840.34250.32770.33235.942.98p=30.72330.78730.67540.74976.624.78p=40.90541.02400.87980.96612.825.65

4结论

通过对永磁转子偏转式多自由度运动电机的磁场进行计算,可得出该电机气隙处磁通密度在空间内按正弦函数变化,磁场强度最值出现在转子两极交界处。随着转子极数的增加,气隙磁密的幅值也随之增大,磁场性能更加优越,谐波含量减少,两种方法的结果得到了对比验证。通过分析磁场中定转子之间的能量转换过程,得出电机运行状态与定转子基波磁动势的相位差有关,当相位差大于90°时,能量转换才能满足转子转动的要求。通过虚位移法对电机自转转矩和倾斜转矩进行分析,有助于确定出最佳的定子通电策略。对磁场、能量、转矩的分析结果为新型永磁多自由度电机的优化与控制提供了理论基础,便于进行更深入的研究。

参 考 文 献:

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(编辑：张诗阁)

Electromagnetic system modeling and analysis of novel 3-DOF deflection type permanent magnet motor

LI Zheng1,XUE Zeng-tao1,SUN Ke-jun1,WANG Qun-jing2,ZHANG Yue1

(1.School of Electrical Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang 050018, China;

2. School of Electrical Engineering and Automation, Anhui University, Hefei 230039, China)

Abstract:According to the complicated structure and combined spin-deflection motion mode of a novel 3-DOF deflection type PM motor, the air gap magnetic field distribution of this motor was analyzed with analytical method from the angle of energy conversion. The harmonic content and magnetic field changes in different number of rotor poles were compared. In addition, the energy transfer situation between stator and rotor was proposed through the magnetic field analysis reflecting the two phases of the motor’s energy conversion. The magnetic energy was calculated by the virtual displacement method and the torque changes with respect to the angles of movement under conditions of different number of poles were derived. Based on the results, the corresponding changes of harmonic content on magnetic field were analyzed. Through the calculation of magnetic field, energy and torque, the motion and performance of this motor was analyzed. The results of analytical and finite element models are compared to verify the correctness of the analytical model.

Keywords:M-DOF motor; permanent magnet; magnetic energy; deflection type; electromagnetic modeling

通讯作者:李争

作者简介:李争(1980—)，男，博士，副教授，硕士生导师，研究方向为特种电机及其控制，新型电力传动装置；

基金项目：国家自然科学基金(51107031)；河北省自然科学基金(E2014208134)

收稿日期:2013-12-20

中图分类号:TM 301

文献标志码:A

文章编号:1007-449X(2015)07-0073-08

DOI:10.15938/j.emc.2015.07.011