香港两种教材“圆的认识”的比较研究（上）

朱乐平 浙江省特级教师，中学高级教师。《数学课程标准》（实验稿）研制组核心成员，浙教版数学教材副主编，浙江省基础教育课程改革专家工作组成员，浙江省小学数学教学研究会副会长，杭州市小学数学教学研究会会长，杭州师范大学兼职硕士研究生导师。

当通向目标的路只有一条时，人们无法比较路的近远。当有人提供一条新路后，才有了比较的机会。我们可以不认同那条新的路，但对于提供新路的人，应该永远心怀感激。同样，成为一名好的数学教师，可以是人生的一个目标，或许这个目标不能与生命同生，但可以追求与生命共存！

香港自从1997年回归祖国后，与大陆的交流越来越多，使得我们有机会更多地了解香港，了解香港的小学数学教学。香港比较早就开始实施“一纲多本”，多种不同版本的教材为香港的学校选择提供了方便。本文试图对香港的小学数学教材中“圆的认识”部分进行纵向比较。

一、选取哪些教材进行比较

本文选取两种教材进行比较。它们分别是现代教育研究社有限公司出版的《现代数学》，1985年初版，1988年第二版（以下简称1985年教材）；新亚洲出版社有限公司出版的《小学数学》，2003年初版，2006年修订（以下简称2003年教材）。两种教材都是六年制教材。（特别说明，这是两种不同的出版社在不同时期的教材，所以，下面的比较不反映教材编者与出版社的水平，而是客观地就这两套教材的编写作比较研究。）笔者充分相信《现代数学》的最新版本也一定会有很多变化，遗憾的是笔者没有这套教材在新世纪的版本。

二、两种不同时期的教材把“圆的认识”的教学，安排在哪一年级

1985年的教材把“圆的认识”这一教学内容安排在五年级下学期，即第十册进行教学；2003年的教材是在六年级上学期学习“圆的认识”。1985年的教材是根据1983年颁布的《小学数学课程纲要》编写的，2003年的教材是根据2000年颁布的香港课程发展议会的《小学数学教育学习领域——数学课程指引（小一至小六）》编写的。

三、“圆的认识”这一内容两种教材分别是按照怎样的顺序进行编写的，即教材的结构是怎样的

对“圆的认识”这一内容进行编写时，会涉及画圆、圆的各部分名称、圆的特征等内容，教材的编者认为怎样的学习顺序对学生是有利的，就会有怎样的编写结构。

1985年的教材的编写顺序如下：（1）画圆，分为用其他的物体画圆和用圆规画圆。（2）先剪一个圆并对折，然后给出圆心、圆周、直径、半径等概念。（3）练习巩固圆心、半径与直径的概念，并给出半径与直径的关系。（4）度量圆内的线段，并给出直径是圆内最长的线段。（5）模仿画图。教材给出图案，让学生模仿画图，画四个同心圆和三个半径相等的圆。（6）给图形涂色并设计图案。（7）练习题。

2003年的教材把“圆的认识”分成两部分编写，分别是“圆的认识（一）”与“圆的认识（二）”。两部分各有侧重点。

“圆的认识（一）”的编写顺序如下：（1）认识圆的特性。给出六个实物图，让学生根据图回答问题（有判断是不是圆形的）。（2）认识圆周、圆心、半径和直径。出示小文与小玲用圆形纸片对折后的图，介绍圆的各部分名称。（3）认识圆心、半径和直径的特性。①出示圆，让学生明确直径的特性：过圆心，两个端点在圆上，在同一个圆中所有的直径都相等。②出示圆，让学生明确半径的特性：在同一个圆中，所有的半径都相等。③明确直径与半径的关系。④进一步明确直径的特性：直径是圆内最长的线段。（4）给出弦的概念；画一组平行的弦，研究它们长度的变化规律。直径与弦的关系。（5）练习题。

“圆的认识（二）”的编写顺序为：（1）一个拴住野马的情境图，让学生直观认识圆的本质属性（平面内到一个定点的距离等于定长的点集）。（2）用不同的工具作圆。给出了四种工具作圆的图示。（3）用圆规作圆。（4）要求画指定半径与直径的圆。（5）探索一些由圆形构成的图案的特性。（6）欣赏一些由圆形构成的图案，并自己设计图案。（7）练习题。（8）探索与发现。

四、两种教材各是如何开头并引导教师与学生对“圆的认识”进行研究的

1985年的教材在编写“圆的认识”时，先是利用多种不同的工具作圆，然后讨论用这些工具作圆的特点，再引入用圆规作圆。

从上面的两个引入过程，我们可以看到以下共同的特点。

（1）注重与学生生活实际的联系。

无论是1985年的教材，还是2003年的教材，两种教材都考虑到了圆是学生生活中比较常见的图形，引入过程关注学生的生活实际。在1985年的教材中，通过画圆，如用一元硬币画圆，让学生感受到：生活中有圆。2003年的教材，则更是贴近学生的生活实际，一开始出示的实物图都是学生常见的，是学生书桌上的物品。这样会让学生感受到这些物品很亲切，感受到圆就在我们身边。

（2）强调学生主动参与，展开数学活动。

从上面的教材中我们可以看到，1985年的教材一开始就是学生的活动，学生要运用各种工具来画圆。由于圆的概念是用发生式方式定义的，所以让学生画圆有利于对圆概念的理解与掌握。2003年的教材出示了六个实物的图片后，让学生观察、思考，并给出了许多问题让学生回答，如要求回答：给出的这些实物图片是直线型的，还是曲线型的？回答这样的思考题，从事这样的数学活动，无疑对于研究圆的特征会有很好的帮助。

两种教材除了具有以上共同特点外，各自的个性也是十分明显的。两种教材主要存在以下的差异：

（1）1985年的教材是让学生动态地画出圆，而2003年的教材是让学生静态地观察圆。

动态地画出圆要求学生动手操作，肢体与思想要同时活动，具有一定的难度。静态地观察物体，思考并解决问题，从判别一个图形是不是圆的角度说，难度要低一些。但由于教材给出的问题是要为进一步认识圆的特征服务的，所以，要思考的这些问题也有一定的难度。如要回答下面的问题：

这个问题就涉及球与圆的差异，对于小学生来说，有一定难度。

（2）2003年的教材比1985的教材更注重与学生已有数学知识相结合，更突出对圆的特征的研究。

1985年的教材只是画圆，画圆的过程虽然也与研究圆的特征密切相关，但与学生已有的数学知识关系不大。2003年的教材出示了六个实物图，并通过五个问题引导学生思考。如：哪些物品的外形是由直线组成的？哪些物品的外形是由曲线组成的？这样的问题，会启发学生思考以前学过的一些平面图形与今天要学的圆形的差异，可以在对比中突出圆的本质属性。通过像“2元硬币的外形是不是圆形的？为什么”这样的问题，一方面贴近学生的生活实际，硬币是学生十分熟悉的东西；另一方面，也引导学生进一步思考，不是所有用曲线形成的图形都是圆形。这样的问题贴近学生生活，靠近学生已有的知识结构，又突出圆的本质属性。事实上，推动数学发展有两个最重要的动力，一是数学内部的矛盾冲突要求有新的数学知识；二是生产和生活实际上有问题，需要运用新的数学知识去解决。这也要求有新的数学知识。从2003年的教材中的五个问题，我们可以看到，这两个方面的内容都有了，即既有数学知识内容的需求：有直线型与曲线型，以前研究直线型，现在需要研究曲线型；又有生活实际的需要：熟悉的许多物品中，存在着圆形，需要研究。可见，从数学知识产生的角度来编写教材，是一种很好的编写思路。

五、两种教材各是如何给出“圆周、圆心、直径与半径”这四个概念的

与我们的教材相比，香港的教材不但给出了“圆心、半径与直径”这三个概念，还给出了“圆周”的概念。这些概念是“圆的认识”这节课中的重要概念。“强调概念的发生过程”是现代数学教育的重要观念。两种教材如何引入这四个概念，将反映出编者对概念发生的观念。

1985年的教材是先教学画圆，在画圆的基础上，出示下面这段文字，定义圆周、圆心、半径和直径这四个概念。

从上面两种教材对“圆周、圆心、直径与半径”概念的得出，我们可以看到它们有以下共同点与不同点。

（1）两种教材都是在学生的操作活动后，再给出“圆周、圆心、半径与直径”这四个概念。比较有意思的是相隔近三十年的教材，在给出这四个概念前，都用了同一个活动——学生折圆形纸片。可见，两种教材的编者不但认为数学概念的产生要重视过程，要让学生在活动中、在感性认识的基础上、在初步认识了概念的本质特征后，再给出概念名称，而且都认为让学生去折圆形纸片是一种既经济实用、操作方便，又有很强数学思考的活动。

（2）两种教材在设计学生学习“圆周、圆心、直径与半径”这四个概念的过程上存在着较大差异，在这四个概念的定义上也有着许多不同。两种教材的差异主要表现在以下几个方面。

①在两种教材中，一种教材要求学生剪一个圆形纸片，另一种教材则不要求学生剪圆形纸片。

1985年的教材是先让学生剪一个圆形纸片，然后再折这个圆形纸片。而2003年的教材是直接用手工纸中的圆形纸片对折。笔者认为，让学生剪一个圆形的纸片，在剪的过程中，可以让学生体会到“圆是由‘曲线围成的图形”这一特征，有利于学生理解圆的概念。

②在两种教材中，一种教材对“圆周、圆心、直径与半径”这四个概念的学习活动设计仔细，步子小，过程相对较长。

2003年的教材对“圆周、圆心、直径与半径”这四个概念的发生过程做得十分仔细：先阐述“小文把圆形纸片对折一次后再打开”，然后结合图示定义圆周概念，最后用直观的、举例的方法，定义“什么叫作点在圆周上”。

在定义了“什么叫圆周”和“什么叫点在圆周上”的含义后，先阐述：“小玲将圆形的纸对折两次，然后打开”，再给合图示定义圆心、直径与半径的概念。从教材的篇幅来看，1985年的教材给出这个概念的定义只用了半面内容，而2003年的教材用了一页内容。

③在两种教材中，一种教材的数学逻辑性更强、更严密。

与1985年的教材相比，2003年的教材更具有数学的逻辑性，更严密。大家知道，直径是通过圆心，两端在圆周上的线段。“什么叫线段的两端在圆周上”，这也是需要定义的概念。2003年的教材在定义直径与半径之前，先定义了“什么叫点在圆周上”，这样逻辑线索就很清晰。

④在两种教材中，对“圆周、圆心、直径与半径”这四个概念下定义的精确程度不一样。

1985年的教材对“圆周、圆心、直径与半径”这四个概念都下了比较精确的定义。如直径的概念：通过圆心，画一直线相交于圆周上两点，这两点间的线段称为直径。这样表达的直径概念已经把直径的本质属性揭示了出来。2003年的教材对这四个概念就没有用“种+类征”的方式来定义，而是只对这些概念作描述性的定义。2003年的教材是结合具体的、特殊的例子给出了概念的名称的。如直径的概念：（结合图示）CD和EF都是通过圆心O的线段，称为直径。这种举例的方式给出的描述性定义，实质上没有用文字的方式把直径的本质属性揭示出来。可见，在这四个概念的表达上，1985年的教材精确、严密的程度要比2003年的教材高。

从上面的两种教材中，我们可以看到，两种教材都是先给出直径概念再给出半径概念的。笔者认为，如果从折纸活动中引出这些概念，那么“折痕”就是“直径”，从这个意义上说，先出直径的概念可能更为直观，更有利于学生掌握。可见，先表述直径概念有一定的道理。