等号的意义

☉湖北省武汉大学附属中学 何淑平

等号的意义

☉湖北省武汉大学附属中学 何淑平

在数学中，常见的就是“=”了，一个计算式中，少不了的就是它，可是，大家真的完全明了它的意义吗？不尽然.

在大多数人眼里，等号刻画的是它的两边的一种相等的数量关系，例如：1=1，或者1克=1克.但这是等号的最初等含义.

1.等号表示一种相等的数量关系

这个在前面已经论述过.

2.等号表示一种算法

等号其实是运算的基础，如果运算没有规定什么是运算中两个对象的相等，计算将无法进行.

If the atomic number Z of ZnS is much greater than ,then Eq. (9) can be calculated as the volume density, which was found to be on the order of 3.9 g/cm3. This result is in close agreement with the literature.

例如，规定a鄢b=2a-3b，a、b∈R，则可以计算2鄢（3鄢2）=2×2-3（3鄢2）=4-3×（2×3-3×2）=4.

这就是所谓规定新运算的基础，其实就是等号的意义的体现.

3.等号在逻辑上表明一种等价关系

因此它具备等价关系的三大核心性质：自身性，即a=a；反身性，即a=b圯b=a；传递性，即a=b，b=c圯a=c.

4.等号还有两大特殊意义（等号是方法）

（1）等号的方程含义.

含有未知数的等式称为方程，这是方程的定义，但是很少有人注意到，其实，所谓的方程就是一个等式，只是其中含有未知数而已.反过来，基于上面所指的等号的意义，我们可以从这个角度来认识所谓的方程，就是一个标识符“=”.

如果我们从方程的角度来认识等号的意义，那么此时的等号就告诉我们两个核心的算法结构，我们形象地告诉学生，这个称为“等号是方法”.在这种情况下就是：消元和降次.

我们将这里的等号从方程的角度考虑，未知数x、y是元，且为多元，因此，等号的意义就是消去其中的某些元（消元），消元的方式有代入消元和加减消元.（解从略）

例如，已知x2-2x-3=0，求x.

我们将这里的等号从方程的角度考虑，未知数x是元，且为一元，因此，等号的意义就是将一元方程降次，而降次的最佳手段就是因式分解.（解从略）

例如，我们常在解析几何中看到如下的字眼“图像的轨迹方程”，这里所谓的方程，其实就是寻找一个等式，只不过等式的元，就是图像上点的坐标而已.

所以当我们在任何地方看到“方程”这个字眼的时候，自己一定要明白，其实就是一种等号确定的思考方式.

（2）等号的函数含义.

函数其实简单而言，就是描述多个变量之间等量关系的表达式.变量因等号而分类，可以简单地将代数学中的结论如此刻画，一个等号从方程的角度可以解出一个变量的值，而被解出的这个变量在函数的观点下成为因变量，刻画这个因变量的其他变量称为自变量，等号完成了它的第一个基本使命，将变量进行分类（自变量与因变量）.

其次，如果将等号视为函数，那么函数的处理基本模式就会自动形成（也称为等号是方法）：用三句话概括.

①定义域是陷阱.

解：将等号视为函数，由定义域知x=1，从而y=1.

②参数是关键.

对一个函数对象的讨论，其实是对它的参数进行讨论的问题.

例如，已知y=xa（x≥0，a＞0），求证它过定点.

证明：所谓的定点，其实就是与参数a无关的点，因此定点为（0，0）、（1，1）.

③图像是方法.

处理函数问题的基本核心技术，就是它的图像，要习惯有意识地控制函数的图像，并且通过图像来解决问题.

如果我们从函数的角度出发来解这个问题，其实就是两条直线的交点，图像是方法.

5.等号是不等号的分界点

等号的取值，是不等号的分界点.核心思想为a≥b，a≤b圯a=b.

例如，已知不等式x2+ax+b＞0的解为x＞3或x＜1，求方程bx2+ax+1=0的解.

解：由不等式x2+ax+b＞0的解为x＞3或x＜1，知方程x2+ ax+b=0的解为x=3或x=1，因此a=-4，b=3，所以方程bx2+ ax+1=0的解为或x=1.

本文试图从形式上来系统阐述数学的结构思想，让数学在某种形式下实现统一，也体现了数学的高度形式化特色，当然也将看似不相关的知识从另外的一个侧面实现完美的统一.A