巧用几何和物理情景进行向量教学

胡旭耀

〔关键词〕 数学教学；向量；物理；几何

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）21—0118—02

《普通高中数学课程标准（实验）》中，在必修课程、选修课程中设置了向量的内容.但是，对于中学生来说，向量却是数学学习的一大跨越，不仅仅是增加了新内容，更重要的是要让学生立足于向量这一全新的视角，拓展对问题的思维方式.因此，向量教学是高中数学教学的重点和难点之一.下面，笔者从向量的基本概念、向量的应用、向量数形结合的特点等几个方面入手，谈一谈如何利用几何与物理情景进行向量教学.

1. 向量基本概念与表示

学生初学向量，对向量“既有大小又有方向”的基本概念难以直接理解，教师可设计一些情景活动，来帮助学生加深理解.

活动1：平面上昆虫的位移.如果观察桌子上的一只蚂蚁（用A表示），猜测蚂蚁将会跑到哪里？

学生不容易猜出蚂蚁移动的位置，因为有无数可能的方向.故教师可假设在若干秒内，蚂蚁从起点开始有以下举动，让学生根据图示进行列举：（1）相等的距离、相反的方向（如从A到H和从A到C）；（2）相等的距离、不同的方向（如从A到B和从A到C）；（3）不同的距离、相同的方向（如从A到K和从A到L）.这样，通过让学生比较不同的位移和轨迹，引入“既有大小又有方向”的量，进而引出向量的概念.

活动2：城市之间的位移.每天早晨，某人要从城区I地点的家中坐车到城区E地点去上班，到了晚上，他又要从城区E地点返回到城区I地点的家中.问：这两次行程之间有何区别？ 部分学生会对向量的表示存在错误理解，如将I←E表示成■，将I→E表示成■.通过该活动，引入向量的表示方法与含义，让学生理解向量的记法、几何表示以及相反向量和共线向量的概念.

活动3：几何实例.在平行六面体中所标示出的向量中，请区别：（1）长度或者数量相等的向量；（2）在相同路径上的向量；（3）和■有相同方向的向量；（4）和■相等的向量；（5）和■相反的向量.

由于语言表达的原因，一些学生可能会有如下的误解：水平和垂直方向意味着“相反”的方向：所有的垂直向量都和水平向量■相反.类似地，和向量■垂直的向量，如向量■，会被认为是和水平向量■相反.通过该活动，让学生直观地理解垂直向量的概念.

2.向量的比较

比较向量时，学生的主要困难在于错误地认为向量的相等仅仅就是向量大小的相等，也就是在数量上的相等，而忽略向量在方向上的相同；另外，在向量的起点和终点平行移动后，误认为是形成了不同的向量.可通过实例活动，来帮助学生理解.如通过举例平行六面体中的■和■，说明它们是相等的向量，但不是同一个向量，不同是因为它们在不同的位置，但它们却相等.

3.非共线向量求和

非共线向量求和时所用的向量运算法则是向量学习的难点和重点，学生学习时会有很大障碍.因此，教师在教学的时候可循序渐进地结合具体实例进行类比讲授.（1）三角形法则.向量之间的操作可被看作是对对象进行多种操作之后的最终效果.可通过物理中常用的位移和速度的例子进行说明.（2）位移情景：甲从地点A行驶到地点C，中间经过地点B，并用向量表示其行程.乙从地点A直接行驶到地点C.请比较甲、乙两人最终的位移.（3）速度情景：小球沿着管道以4厘米/秒的速度移动，同时管道以3厘米/秒的速度向上移动.在位移情景实例中，甲、乙两人的最终位移相同；在管道问题实例中，在2秒内，如果管道没有移动，则小球的位移是■；如果只有管道移动，小球的位移是■；如果同时移动，小球的位移是■.通过这些情景实例的解释和讨论，强化学生对三角形法则的理解.

2. 平行四边形法则.在介绍平行四边形法则时，可通过以下的预备活动，来帮助学生理解平行四边形法则与三角形法则之间的关系.

（1）进行如图所示的实验活动：有一个平板车，车上有一小球.在平板车向右运动一段距离的同时，小球在车上向上边运动一段距离.分析小球最终的位移情况，可以有两种方式：一种是可认为平板车先向右运行，然后小球向上运动；一种是认为小球先向上运动，然后平板车向右运动.

无论我们如何观察和分析运动的顺序，小球最终的位移是相同的.在此基础上，可以引入向量求和的可交换性概念，引入三角形法则与平行四边形法则之间的等价关系.

（2）进行如下两个构造活动， 要求保持形状的平行四边形，观察和分析形成的轨迹：a.移动点A和点B之间的两条线段；b.移动点A和点B之间的两个向量，移动时，要保持向量的方向不变。

活动a的作用是让学生首先感受由线段构成的平行四边形的特点和形式；活动b的作用是让学生理解带有方向的向量所构成的平行四边形的形式、通过和活动a进行比较，理解向量的平行四边形法则的规律.在这些准备活动结束后，然后在课堂上进行了关于力的真实实验活动：如图所示，在A点需要挂多大的重量去保持平衡？通过思考、计算、试验、讲解，让学生领会平行四边形法则.

向量是高中数学新课程中的重点内容之一.本文针对中学生学习向量时面对的理解上的困难，提出基于学生的实际生活体验，结合学生的物理和几何课程，通过设计各种物理和几何情景活动与实例，将抽象的概念用直观具体的方式进行传授，以帮助学生对向量概念有更深入地理解.

？笙 编辑：谢颖丽