精彩不容错过——兼谈概念分类规则

教师要善于引导学生对一些相关的概念进行分类,以便掌握概念的联系和形成系统,使学生形成知识网络。但有的教师在分类时，概念不清,违反分类规则,导致对概念认识上产生错误,必然影响到概念的运用。笔者在一堂公开课上就发现了这样的问题。

一、引述错误分类

公开课《丰富的图形世界》,选用教材:苏教版,设计题目:认一认下面几何体并把它们分类。（写出分类的依据）

二、分析与评价

分类一、二、三都没有问题，分类四中圆锥的顶点只有一个无可非议，但把所有的棱锥都认为只有一个顶点是错误的，忽视了新老教材概念的不同。在华师版教材中“顶点”的概念:只要是棱与棱的交点就是顶点。所以对于棱锥来说有多个顶点，它的立足点是多面体，而且满足欧拉公式。而现在的苏教版教材立足于特殊性，所以对于棱锥的顶点作出规定：侧棱的交点才叫做棱锥的顶点，所以一般来说棱锥的顶点只有一个。那是不是所有棱锥的顶点都只有一个顶点，有没有特例？事实上由于三棱锥的特殊性，每一个面都可以作为底面，也就是说有四种情况，根据“顶点”的概念它的顶点应该有四个。

为什么会引起这样的混淆？主要是对于底面概念不清楚，没有去摆一摆，放一放。笔者在凤凰数学论坛及其他地方就发现有很多教师都认为三棱锥只有一个顶点，错误地认为底面就是放在桌子上的面，也就是认为底面跟放置位置有关。底面只有一个，那相对于底面的侧面的交线——侧棱的交点也就只有一个，所以三棱锥只有一个顶点。

三、探究正确分类

其实上面对于底面的理解是错误的。举个例子来说：如果我们拿四棱锥来研究，把形状是三角形的那个面放在下面，试问底面在何处？很显然,底面应该是形状为四边形的那个面，而不是位置在下面的形状为三角形的那个面。由此得出结论，底面不跟放置位置有关。底面确定，相对于底面而言的侧棱也确定，因而顶点也就确定。但三棱锥由于它的特殊性，任何一个面都可以作底面，那么相对于底面的侧面的交线（侧棱）的交点——顶点会因底面的不同而不同，所以三棱锥应该有四个顶点。

显然，由于三棱锥有四个顶点，那么棱锥只有一个顶点的说法是欠妥的，应该说一般只有一个。上述题目按顶点个数的分类中撇开了三棱锥的特例，把棱锥算作一个顶点应该是不正确的。那么应该怎样按顶点数进行正确分类呢？在数学教学参考上有这样的提示：除三棱锥外，棱锥的顶点只有一个（三棱锥有四个顶点）。棱锥底面上，棱与棱的交点不能称为棱锥的顶点，应该称为底面顶点。同时还指出：课本对棱锥顶点的表述，与初中、高中的各套教材的表述是基本一致的。对棱锥顶点的概念，教学中应该淡化，如不要安排与此概念相关的专项训练等。为了避开上述错误，淡化棱锥顶点的概念，笔者认为可以引导学生按有无顶点进行分类，即有顶点：棱锥、棱柱，无顶点：球体、圆柱。这样分类，既完成了教学任务，也没有争议，避免了不必要的错误。

这次公开课的教师出现的分类错误，笔者觉得应该引起我们的反思。（1）新教材的内容与老教材相比已经有了一些变化。相对老教材来说有加强的部分，也有削弱的部分。我们在研究教材、处理教材与实际教学时是不是存在重视程度不够或者根本还在吃老本的现象呢？（2）学生的思维是灵活的，思维的火花一直在不断出现。每一个教学情境出现时，教师应该怎么来充分利用这个平台，把知识传授给学生呢？