浅谈幂级数的敛散性与函数的幂级数展开
2014-10-21马晓东李淑娟
马晓东 李淑娟
摘 要：幂级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个.幂级数被作为基础内容应用到了实变函数、 复变函数等众多领域.本文就幂级数的收敛半径 、收敛区间 、收敛域、 马克劳林级数等内容进行浅析.
关键词： 幂级数 敛散性 收敛半径 收敛区间 收敛域 马克劳林级数
中图分类号：O173 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0000-00
1幂级数的概念
1.1幂级数
形如 或 的级数称为幂级数，其中常数 叫做幂级数的系数.
1.2收敛半径与收敛区间[1]
如果幂级数 不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：
当 时，幂级数 绝对收敛；
当 时，幂级数 发散；
当x=R与X=-R时，幂级数 可能收敛也可能发散.
正数R通常叫做幂级数 的收敛半径.由幂级数在 处的收敛性决定它在区间 、 或 上收敛，这区间叫做幂级数 的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间.
如果 仅在X=0收敛，就规定R=0，如果 对一切X都收敛，则规定R= .
1.3收敛半径的求法
（1）对于不缺项的幂级数
定理 设幂级数 的系数有 则
①当0< < 时，有R=
②当 =0时，定义R=
③当 时，定义R=0
（2）对于缺项的幂级数，例如
令 ， ，考察 =
则当 <1时，级数收敛，此时可得知
①当 时，R= .
②当 时，R= .
③当 时，定义R=0.
2 将初等函数展开为幂级数
如果f（x）在点 的某邻域内具有各有阶导数 、 、…， …，这时称幂级数
为函数f（x）在x= 处展开的泰勒级数.
特别地，取 得幂级数
称为函数的马克劳林级数。
常用的马克劳林级数有：
1.
2.Sinx=
3.Cosx=
4.Ln（1+x）=
5.
3間接展开法
利用幂级数的基本性质与几个常用的标准展开式，将初等函数展开为幂级数的方法，称为间接展开法.
4幂级数的基本性质
（1）幂级数 的和函数S（x）在其收敛区间（-R，R）内为连续函数.
（2）幂级数 在其收敛区间（-R，R）内可以逐项积分，即
=
且逐项积分后所得到的幂级数的收敛半径也是R.
（3）幂级数 在其收敛区间（-R，R）内可以逐项求导，即
（注意下标的变化）
且逐项求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R.
说明 如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在x=R（或-R）处收敛，则性质2，3在x=R（或-R）处仍成立.
（4）若 的收敛区间为（ ）， 的收敛区间为（ ），则
且的收敛区间为（-R，R），其中R=min
典型例题分析[2]
4.1选择题
（1） 幂级数 的收敛区间为（ ）A.（-1，1）B. C. D.
分析： 因为
所以 且当x= - 1时， 发散.
当x=1时， 收敛，故收敛区间为 答：C
（2）设幂级数 在x=2处收敛，则该幂级数在x=-1处必定（ ）
A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 敛散性不能确定
分析： 由于幂级数 在其收敛区间（-R，R）内绝对收敛，在 时发散.可知，当幂级数 在x=2处收敛时，必有 . 因此 在（-2，2）内必定绝对收敛，由于x= - 1 （-2，2） ，因此可知 在x= -1处必定绝对收敛，故应选C . 答：C
（3） 下列幂级数中，收敛半径为R=1的是（ ）
A. B. C. D.
分析： A
B
C
D
可见B为正确答案 答： B
4.2填空题
（1） 幂级数 的收敛域为
分析： 当 ，即0 又当x=0时， = 发散. 而当x=2时， = 收敛. 故收敛域为 答： （2） 关于的幂级数展开式为 （-2 分析： = = （-2 答： （-2 4.3解答题 （1）求幂级数 的收敛半径. 分析： ，于是 可知收敛半径为 答：2. （2）求 的收敛区间. 分析： 所给级数为不缺项情形， ， = 因此， 所以幂级数的收敛区间为（-3，3） 答：（-3，3） （3）求 的收敛半径、收敛区间和收敛域. 分析： 于是 可知收敛半径为R= 即当 即 时， 收敛. 当x=0时， = 发散. 当x=2时， 收敛. 故收敛区间为（0，2），收敛域为 答：1，（0，2）， （4） 把函数 展开为x-2的幂级数，并求收敛区间. 分析： = 利用函数 ，R=1，得到 ，所以 （5） 求函数 的马克劳林级数展开式. 分析：已知 = ， 答： （6） 将函数 展开成 的幂级数. 分析： = = 利用公式（2）与（3）以 代入得 ， ， 在 处的展开式为 Sinx= 参考文献 [1] 高霞.高等数学[M] .南开大学出版社，2010. [2] 叶正道.高等数学[M].中国社会出版社，2005. 作者简介：马晓东（1964、5）女。汉。辽宁省铁岭市人。铁岭卫生职业学院。公共基础部主任。职称：副教授，理学学士，主要从事数学专业教学。李淑娟（1987、11）汉， 女，辽宁省北票市人，大连大学信息工程学院，应用数学专业，研究生。
