一个重要的幂级数

胡旭东

摘要：求幂级数的和函数是级数学习的重点及难点内容，找到一个突破口，以点带面不失为一种寻求突破的好方法，这便是等比级数 。

关键词：幂级数 ；等比级数

幂级数是高等数学的重要内容之一，它在工程问题中有着较为广泛的应用，幂级数的应用和计算却相对复杂，不易掌握.。找到一个突破口，以点带面不失为一种寻求突破的好方法，这便是等比

级数 。以此为突破口，对研究函数项级数的收敛性判断、求和等问题有独到的作用，本文就此作简要描述。

一、求幂级数的收敛半径

利用幂级数 的收敛区间 容易理解 的收敛区间为 ，进而一步可以了知如下定理。

定理 1（柯西—阿达玛定理） 设 ，

则幂级数 在 内绝对收敛，在 内发散。特别地，幂级数 在 内绝对收敛，在 发散。这说明幂级数 在研究幂级数的收敛半径上有

着重要的作用，可以让初学者摆脱过度抽象带来的负面影响。

二、求幂级数的和函数

定理2设幂级数 的收敛半径是R，和函数为 ，那么（1） 在收敛域内连续。（2）幂级数在收敛域上可積，并且可以逐项积分或求导，即： ，或 ，并且积分或求导后的级数不改变收敛半径。

由此我们可以得到以下结论，这对于我们求幂级数和函数是大有帮助的。

推论 在 时，有如下结论：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （5）

（7） （8）

（9） （10）

（11） （12）

上述变化可谓丰富多彩，对（1）两端求导则生出（2），同理由（2）可以推出（3），对（1）两端积分则有（4），将（1）到（4）中 替换成 就得到（5）至（8），把（1）（4）（5）中 替换成 则演化为（9）（10）（11），对（11）两端积分便得（12）。如上真乃行云流水，叹为观止。

下面仅举一例说明上述变换的运用。

例、求 的和函数，其中 。

解：当 时，次级数一致收敛且有和函数存在，设

，那么

，利用推论公式（4）可得，

综上可见， 既是最简单的幂级数，也是最重要的幂级数。

通过对此级数的收敛性及和函数的研究与拓展，可以对幂级数的学习起到重要作用，特别是对求幂级数和函数必不可少，这是突破幂级数和函数学习的关键。

参考文献：

[1] 复旦大学数学系 《数学分析》（第二版） 高等教育出版社1983年11月第二版

[2] 《高等数学》 科学出版社 2011年2月第一版