土体强度与变形尺度特性的理论与试验分析

房营光

（1. 华南理工大学 土木与交通学院，广州 510641；2. 华南理工大学 亚热带建筑科学国家重点实验室，广州 510641）

1 引 言

土体是天然地质材料，由多相（固、液、气）物质组成，是具有结构性的一种复杂多变的颗粒介质，其颗粒小至微米级的黏粒，大至数十厘米以上的卵石、块石，尺度分布可达5～6个数量级[1]。近年的理论研究和试验观测发现，具有内部尺度层次的材料，其力学行为特性是跨尺度关联的，如金属等晶体材料[2－4]、土体等颗粒材料[5－7]的力学行为表现出强烈的多尺度关联效应。土体变形过程中不同尺度颗粒之间的相互作用机制非常复杂[6－7]，其中所展现的一种基本特性是，颗粒尺度强烈影响土体的强度和变形性质。例如，土体应变局部化现象可由颗粒沿最大剪应力面定向排列引起，当颗粒长轴向最大剪应力面偏转时破坏了粒间的胶结，而定向排列则降低了粒间的咬合力，这两个因素导致土体抵抗外力的能力明显降低，而致土体软化；颗粒显著偏转而定向排列的现象主要局限在最大剪应力面附近，由此引起剪应变集中，并逐渐扩展贯穿成剪切带；发生剪应变集中的起始应力以及形成的剪切带宽度直接受颗粒尺度分布及其形状的影响，表现出土体变形和强度的尺度特性。颗粒尺度也直接影响密实砂土剪胀软化特性，剪应力驱动使颗粒间相互攀越而需克服的剪胀角，以及由此产生的体积膨胀随颗粒尺度增大而增加，因此，颗粒尺度是决定密实砂土剪胀变形特性的重要因素之一。此外，不同粒度成分土体强度指标（c、φ值）的重大差异，实质是宏观特性颗粒尺度效应的一种实际体现，其中微细颗粒之间的相互作用主要体现为内聚力，而较大颗粒之间的相互作用主要体现为内摩擦力，导致了不同颗粒尺度和级配的土体强度指标的显著变化。许多岩土灾害如泥石流，也呈现颗粒尺度和级配的影响特征[8]。

传统土力学建立在连续介质力学基础之上，本构模型不包含任何尺度，更不能细致考虑颗粒尺度层次、颗粒级配以及不同尺度颗粒之间耦合作用的细节，因此，不能预测尺度效应特性。为拟合土体复杂的力学行为特性，通常在本构模型中引入唯象参数修正宏观本构方程[9]，虽然便于数值计算，但不能解释其内在物理机制，更不能展现尺度特性。近年一些学者采用离散元和颗粒流理论研究土体变形和运动特性[10－11]，以颗粒为荷载传递和分析的单元，考虑粒间的相互摩擦、碰撞和挤压效应对宏观特性的影响[12]，突破了宏观理论的一些限制，一定程度上揭示了其力学行为细节及其物理机制。但目前研究仍主要局限于唯象特性的模拟和重现，需要处理极为巨量的模拟数据，物理本质问题难免被数据海洋淹没，也难于在工程中得到实际应用。本文根据不同尺度颗粒间相互作用表现出的聚集和摩擦效应，提出了基体-增强颗粒土体胞元模型，基于应变能建立了考虑颗粒尺度效应的应力-应变关系以及屈服应力简明的计算公式，便于工程设计计算。理论计算与三轴抗剪试验结果的对比分析发现，理论预测与试验具有较好的一致性。

2 土体的“基体-增强颗粒”胞元模型

2.1 胞元体模型

构成土体骨架的固相颗粒尺度跨越 5～6数量级，不同尺度颗粒间相互作用呈现不同的物理效应，对强度和变形特性产生不同的影响。微细颗粒具有很大的比表面积，粒间主要由分子键（范德华力）连结，表现为聚集效应，粒间作用力主要为内聚力；较大颗粒间主要由接触（键）连接，由重力和外载荷引起弹塑性接触，粒间作用力主要为内摩擦力；较大颗粒与微细颗粒间则主要体现为微细颗粒对较大颗粒的胶结作用。

3)Client发送协议报文信息。Client在发送请求命令之后，还要以协议报文的形式向服务器发送请求的具体参数。

根据上述不同尺度颗粒间相互作用产生的物理效应，把土体颗粒划分为基体颗粒和增强颗粒，其中小于粉粒的矿物、有机物和氧化物等微小颗粒和胶粒视为基体颗粒，而大于粉粒的颗粒（砂粒）视为增强颗粒，等效为刚性球形颗粒。基体颗粒的集合形成均匀连续基体介质，并包裹在增强颗粒周围，构成基体-增强颗粒胞元体，见图1。把增强颗粒体积与基体及增强颗粒的体积之和的比值定义为体分比，若不同尺度的颗粒在土体中均匀分布，则各胞元体的体分比等于宏观土体的体分比。按等体分比取每个增强颗粒周围的基体介质构成图1(b)所示的基体-增强颗粒立方胞元体。胞元体作为能基本反映土体内部材料信息和微细观构造信息的最小单位，土体简化为由许许多多的胞元体集合而成（图1(a)所示），由此把土体简化为具有胞元结构的颗粒介质。

图1 基体-增强颗粒胞元土体模型Fig.1 Matrix-reinforcing particles of cell element model of soil

设胞元体中增强颗粒和基体的质量及密度分别为Md、ρd和Mγ、ργ，则胞元体积VG与增强颗粒直径d之间的关系表示为

[6][16][21]卢群星：《隐性立法者：中国立法工作者的作用及其正当性难题》，《浙江大学学报(人文社会科学版)》2013年第2期。

式中：φ(εD)为土体硬化（或软化）函数；ΔηD=ηD-ηDs； mp= 1 - Gp/G ，Gp为塑性剪切模量。式（17）～（21）中上标“～”的量表示考虑颗粒尺度效应胞元土体的相应量。当土体中不含增强颗粒时，胞元土体退化为基体介质。此时，式（17）～（21）退化为基体介质的相应计算公式。由此可知，式（17）～（21）中的εm、εD、p、q、qs、φ(εD)分别为基体介质的球应变、等效应变、球偶应变、等效偶应变、屈服应力和硬化（或软化）函数。

立方体胞元长、宽、高尺寸均为

2.2 胞元土体强度和变形的颗粒尺度效应

式中：σ′ij为应力偏量；ε′ij为应变偏量。类似地，引入球偶应力pη和等效偶应力qη，以及球偶应变ηm和等效偶应变ηD：

基体与增强颗粒间存在不连续变形，因此，胞元土体不是传统土力学意义的连续介质，视其为“准连续”颗粒介质。为描述胞元土体的变形性质，视土体内任意几何点为具有尺度的质点，可产生平移ui和转动ωi，由此产生相应的应变εij和弯扭（曲率）ηij，并相应地产生应力σij和偶应力mij。胞元土体的应变和弯扭（曲率）为二阶张量，表示为

其中，弯扭张量可表达为应变梯度，即

农业生产中使用农药已成为预防或减少因传染性植物病害造成的损失以及提高农作物产量和质量的常见做法，通常小于0.1%的农药能作为有效部分杀死害虫，而大于99.9%的农药通过地表径流、喷洒残留、渗透或残留在粮食作物上而逃逸到环境中，并在环境中长距离迁移［4］。这些化学物质的使用可以通过漂移、表面径流和过滤来分散到多个环境隔室（如土壤、地表水和地下水等）。水环境中的有机氯农药主要通过大气传输、干湿沉降、水流搬运、环境介质交换等方式经远距离迁移进入流域水体，对水生态系统构成威胁。因此，加强对水体中有机氯农药迁移、转化、分布规律的研究具有重要的意义［5-6］。

式中：eikl为置换符号。为便于讨论，引入球应力p和等效应力q以及球应变εm和等效应变εD：

经过上节讨论，土体简化为由许许多多的基体-增强颗粒胞元体集成的颗粒介质，称为胞元土体。胞元土体在变形过程中，基体产生连续的位移，与增强颗粒相邻处则可产生应变集中，以协调变形；增强颗粒产生平移和转动；基体与增强颗粒之间可产生间断变形（如相对滑动）。对于土体强度和变形特性的影响，基体突显微细颗粒间的聚集效应，增强颗粒则突显砂粒运动产生的摩擦效应。因此，胞元土体具有不同尺度颗粒间相互作用效应的尺度特性。

本节应用上节的相关公式，具体计算胞元土体三轴剪切试验变形和强度的颗粒尺度效应。图2所示为三轴剪切试样的胞元模型。假定增强颗粒周期性均匀分布，每个增强颗粒构成一个方形胞元体，进一步把方形胞元体等效为圆柱形胞元体。由式（3）计算方形胞元体的长、宽、高L，等效圆形胞元体与方形胞元体等体积，其高度h和半径R表示为

而当土体视为具有颗粒尺度效应的胞元土体时，应变能密度增量则可表示为

对于不考虑颗粒尺度效应的土体，假定屈服前产生近似的线性变形，而屈服后产生硬化或软化变形，把其应力-应变关系表示为

58例患者均正畸矫治成功，治疗后移位牙均复位，松动牙得到固定、牙周袋变浅或消失，牙龈无明显炎症。骨性牙周袋变浅，牙齿排列整齐，唇向移位前牙回收，颜面美学明显改善。正畸治疗后较治疗前牙周袋探针深度、临床附着水平、牙龈指数、牙齿松动度均显著降低，差异均具有统计学意义（P＜0.05），治疗后牙槽骨高度有所升高，但与治疗前比较，差异不具有统计学意义（P＞0.05）。见表1。

式中：K和G分别为土体的体积模量和剪切模量；qs为剪切屈服应力。利用式（10）和式（12），可把土体的应变能密度表示为

对于考虑颗粒尺度效应的胞元土体，若具有类似于式（12）、（13）的应力-应变关系，则由式（11）可把其应变能密度表示为

或者表示为

其中：

在三轴不排水剪切试验中， σ2=σ3，εv=0，ε2=ε3=-0.5ε1。式（12）、（13）表示的应力-应变关系转换为

通过类似的讨论，可把考虑颗粒尺度效应的胞元土体的广义球应力和广义等效应力表示为

式（17）～（19）是基于土体屈服前近似线性变形假定导出的，在q≤qs条件下适用。土体屈服后应力计算公式需作适当修正。利用屈服条件 q=qs和式（19），求得胞元土体的屈服应力为

式中：ηDs为屈服时对应的应变梯度，由式（5）、（9）计算。土体屈服后进入弹塑性变形，参考弹塑性应力增量计算，并引用式（13），把土体屈服后的广义等效应力推广为

式中：mb和α分别为增强颗粒的质量比和体分比，且有

第一，企业应该不断弘扬工匠精神。对于高职院校现代学徒制而言，企业是其实施的主体，很大程度上做到了招生即招工，很多学生在的发展过程中，大多是在企业中度过的。所以，企业应该加大对自身文化的宣传，以保证可以有效提升学生的工匠精神。比如：企业可播放一些视频以及纪录片等，加大工匠精神的宣传力度，保证学生能够将工匠精神的含义合理运用的实际工作和生活中，保证在提升自身水平和工作效率的同时，还可以为企业创造很大的利益。[2]

3 土体三轴剪切试验的颗粒尺度效应分析

3.1 应力和应变颗粒尺度效应计算公式

图2 三轴剪切试样的胞元模型Fig.2 Cell element model of triaxial shear specimens

此时,利用Kaczmarz迭代算法循环遍历矩阵U的所有行,并将当前迭代Ui投影至与矩阵V中当前选择列所对应的超平面上,即可求解子优化问题式(8).与之类似,利用Kaczmarz迭代算法循环遍历矩阵V的所有列,并将当前迭代Vj投影至与矩阵U中当前选择行所对应的超平面上,即可求解子优化问题式(9).本文通过循环交替求解子凸优化问题式(8)和式(9),即可由观测矩阵Y的部分已知元素重构感知矩阵X的所有未知元素.

当q≤qs时，从式（19）求得胞元土体应力计算公式：

永光活性湖兰G（台湾永光化学公司），Na2CO3（碳酸钠 )， Na2S2O4（元明粉），NaOH(氢氧化钠)， NaHCO3(碳酸氢钠)， 清洁剂。

土体屈服后 q＞qs，由式（21）求得应力计算公式：

为具体给出三轴剪切试验的颗粒尺度效应计算，首先根据三轴剪切试样的变形特点，由式（5）计算应变梯度ηij，进而计算等效偶应变ηD。由图2所示含增强颗粒的等效圆形胞元体的位移场作应变梯度ηij的近似计算，其轴对称位移场为u1=uz(r,z)，u2=ur(r,z)，u3=uθ= 0。由式（4）、（5）把应变梯度ηij表示为

3.2 应变梯度ηD计算

式（26）～（28）给出了考虑颗粒尺度效应的胞元土体三轴不排水抗剪试验全过程的应力计算公式。

其余ηij=0。利用三轴剪切试样变形的对称性以及不排水状态的应变关系式 ε2= ε3=-0 .5ε1，并采用“平均差分法”来近似计算应变梯度ηij，例如：

类似地，求得

由式（9）、（22）、（23）、（30）、（31）求得

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把上式中的ε1由εs代替，则求得ηDs。把式（32）代入式（26）～（28），便可求得胞元土体三轴不排水抗剪的应力-应变关系。当土体含不同大小粒径di的增强颗粒时，利用土体粒度成分累计曲线函数g(d)，由下式计算胞元土体的平均应力和应变：

4 颗粒尺度效应的试验与理论结果

为测试土体的颗粒尺度效应，本文制备了包含增强颗粒的不同粒径和不同体分比的三轴抗剪试验的系列试样，在全自动三轴仪上进行三轴不排水抗剪试验，测得应力差与轴向应变ε1关系曲线以及抗剪屈服应力，并把试验结果与相应理论结果作了对比分析。理论计算由式（26）～（28）和式（32）给出，其中涉及到的土工参数由与三轴抗剪试样对应的1组基体试样测定。

4.1 三轴抗剪试验试样制备

三轴抗剪试验所用试样中的基体由小于粉粒（粒径小于0.075 mm）土粒组成，从天然黏土晒干后过筛获取，而试样中的增强颗粒则为商品石英砂。在基体中掺入不同粒径和不同体分比的增强颗粒，并掺入适量水进行长时间充分搅拌，保证增强颗粒均匀分布于基体中；试样尺寸直径为3.91 cm，高度为8.0 cm；试样进行饱和处理后，静置24 h以上，并使所有试样基体有相同的含水率 w1和孔隙比 e1（w1=36%，e1=1.5）；每个试验结果由3个试样测得。根据试验要求制备的系列试样，包含3种不同体分比（0.088、0.162、0.225）以及3种不同粒径（0.70、0.33、0.22 mm）的增强颗粒，共9种组合，此外，制备1组基体试样用于测定土工参数。

4.2 试验与理论结果对比分析

图3～5所示为土体三轴不排水抗剪的试验结果以及相应的理论计算结果。其中，图3、4给出了随增强颗粒粒径d及体分比α变化的主应力差与轴向应变关系曲线的试验与理论对比结果，图5给出了增强颗粒的不同颗粒粒径d及体分比α情况的屈服应力试验与理论对比结果。

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图3 不同增强颗粒粒径下主应力差与轴向应变关系曲线Fig.3 Relation curves between principal stress difference and axial strain for different reinforcing particle sizes

图4 不同体分比下主应力差与轴向应变关系曲线Fig.4 Relation curves between principal stress difference and axial strain for different volume ratios

从图3所示的结果可见，当增强颗粒大小不变时，土体的主应力差与轴向应变关系随增强颗粒体分比的增加而增强；图4表明，当增强颗粒的体分比不变时，土体的主应力差与轴向应变关系则随增强颗粒粒径的减小而增强。从图5所示结果可见，土体的屈服剪切应力（屈服时的主应力差）随增强颗粒的粒径减小及体分比的增加而增大。上述的应力-应变关系以及屈服应力随增强颗粒大小和体分比变化而改变的结果，呈现出了土体变形和强度特性的颗粒尺度效应。同时，图3～5所示结果表明，理论计算结果与相应的试验结果具有较好的一致性，说明文中的胞元土体模型具有一定合理性，并展示出土体变形和强度颗粒尺度效应物理机制。

废弃土地和各种临时性工程水土保持措施的实施也是公路建设项目水土流失防治的重要内容。首先，排水池和排水沟应设置在弃土场,将尽可能多的水引入到沟底部，将山涧的水汇集；二是在弃土场水平坡上设置梯形边坡，利用其梯形坡面将山坡水引流至排水沟中。在公路建设过程中，各类临时工程采取水土保持措施。例如，在建设过程中，在临时占地区域直接开挖，会破坏地表肥沃土层，在公路建设结束后，植被恢复就无法进行。因此，有必要将肥沃的土层储存在原始地表的固定位置。公路建设完成后，再将肥沃土层推到原来的位置，恢复地表。

土体变形和强度的尺度效应可解释为由增强颗粒周围基体的应变梯度（不均匀应变）产生。增强颗粒使其周围的基体产生不均匀变形而引起应变梯度，以致土体变形时比均匀变形情况消耗或储存更多的能量，使变形阻力增加，在宏观上体现出具有更强的变形性能和更高的强度。增强颗粒的体分比增加或体分比不变而粒径减小时，土体单位体积中的应变梯度“密度”增加，因而土体的强度和变形性能提高。上述土体变形和强度尺度效应的物理机制解释，符合相应的试验结果以及胞元土体模型的理论预测。

图5 屈服应力与体分比关系曲线Fig.5 Relation curves between yielding stress and volume ratio

5 结 论

（1）土体是一种颗粒介质，其强度和变形特性具有显著的颗粒尺度效应。文中基于胞元土体模型建立的土体应力-应变关系及屈服应力公式可较合理地反映土体相应的尺度效应特性。

（2）土体三轴不排水抗剪试验结果表明，土体强度和变形的尺度效应随增强颗粒的体分比增加以及粒径的减小而增强，反映出增强颗粒体分比和粒径对尺度效应的明显影响；胞元土体模型理论的尺度效应预测结果与试验具有较好的一致性。

（3）土体变形和强度尺度效应的作用机制可解释为，由增强颗粒周围基体的应变梯度而产生；应变梯度增加了单位体积土体中消耗或储存的能量，使变形阻力增大，从而体现出土体更强的变形性能和更高的强度。

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