巧用数轴,演绎精彩课堂

戴小军

案例背景：

我认为要上好复习课，首先要引导学生温故知新，其次要突出复习课承上启下的作用。温州市小学数学六年级备课会以“如何上好复习课”为主题展开研讨，在确定要教学“数的认识”一课时，我发现这一课的概念非常多，而且容易混淆。如何让学生清晰地建立数的概念体系，是这一课的教学难点。基于以上认识，我以数形结合和温故知新为主线，设计“数的认识”一课的教学。

案例描述：

课始，先让学生对所学的数进行系统梳理，把小学阶段学过的数分为负数、０、正数三类，形成一个完整的知识网络结构图，再把复习范围确定在正数以内，引导学生回忆正数范围内学过的数有分数、小数、百分数等，然后对这些数逐一复习。

教学片断一：

师：谁来介绍自然数２和９？

生１：２是偶数，并且是最小的偶数。

生２：２既是质数，也是８的因数。

生３：９既是奇数，也是合数。

生４：９既是１８的因数，也是３的倍数。

师：先说一说什么是因数、倍数，然后找出８的因数与倍数并在数轴上表示出来。

生５：■

师：仔细观察数轴，因数与倍数各有什么特征？

生６：我发现一个数的因数个数是有限的，而倍数的个数是无限的。

生７：我发现一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。

……

通过问题，引导学生回顾所学知识并逐一进行梳理。

教学片断二：

师：什么叫奇数、偶数？奇数有哪些？偶数有哪些？奇数、偶数的个数有多少？

师：什么叫质数、合数？质数有哪些？合数有哪些？（让学生以“开火车”的形式报２０以内的质数、合数）质数、合数的个数有多少？

师（出示下图）：观察奇数、偶数与质数、合数的数轴，它们有什么区别？

■

生１：从分布上看，奇数、偶数出现得很有规律，都是相差２，而质数与合数的分布是杂乱无章的。

生２：从分类上看，所有非零自然数是按是否是２的倍数分为奇数、偶数，而按因数的个数来分，除了质数、合数外，还有一个１。

生３：所有的奇数不一定是质数，也有合数；所有的偶数除了２是质数外，其余的都是合数。

生４：数轴越往右，质数出现的频率越低，合数出现的频率越高。

生５：从质数的数轴上看，除了２、３两个连续的自然数都是质数外，在右边的数中就再也找不到两个连续自然数都是质数了。

生６：从合数的数轴上看，有三个连续的自然数都是合数，也有四个连续的自然数都是合数，那最多有几个连续的自然数都是合数呢？

……

通过以上讨论，使学生深刻理解了这些数的概念。

教学片断三：

师：首先，请同学们在数轴上标出０．１、２．２５、一个无限小数这三个数。

师：同学们标出前两个小数没有问题，那你们能找到一个无限小数吗？

生：■、■……

师：刚才同学们找的都是无限循环小数，那你能找出一个无限不循环小数吗？

（学生陷入深深的沉思）

师：同学们到了初中后，就可以找到很多无限不循环小数了。

……

这样进行复习教学，让学生厘清了小数的分类情况（小数可以分为有限小数、无限小数，无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数），对学生的思维也提出了更高的要求。如学生只知道一个无限不循环小数π，但又无法找到一个具体的点表示π。教学中，教师可以告诉学生“初中学习数学时可以找到很多点表示无限不循环小数”，以此激发学生的求知欲望。

教学片断四：

师：这两个分数又在数轴上的哪一个点？

师：同学们，所有的分数可以分为哪几类？

生１：我将分数分为真分数、假分数两大类。

师：什么叫真、假分数？

生1：看分母与分子的大小。

师：在数轴上看，真分数、假分数都分布在哪里？（生答略）

师（出示下图）：请同学们仔细观察，是真分数多，还是假分数多？

■

生２：从数轴上看，假分数的范围更广，所以我认为假分数多。

生３：我认为真分数、假分数都是无限个，所以无法比较。

生４：假分数的分布广，所以多。

……

师：我们来做个报数的游戏，你们报一个数，我报一个数，并想一想从中发现了什么。（师生玩报数游戏）

生５：我报一个数，老师也能报一个数，所以报的数一样多。

……

通过游戏，让学生真正感受到真、假分数可以一一对应，使学生初步感知所学内容，为后续的数学学习打下基础。

教学反思：

１．数形结合，突破难点

小学阶段所学的数的概念非常多，很多数的概念只是一字之差，意思则完全不同，导致学生对这些数的概念容易产生混淆。如何在六年级的最后阶段让学生深刻理解数的概念的本质特征，更好地沟通它们之间的联系与区别，一直是困扰我们教师的重要问题。

数形结合是一种重要的数学思想方法。所谓数形结合，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数，使某些抽象的数学问题直观化、生动化、简单化，变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质。正如著名数学家华罗庚所说的“数缺形时少直观，形少数时难入微”。因此，本堂课以数轴为主线，帮助学生梳理小学阶段所有的数的概念。小学阶段学的数都属于实数，实数与数轴上的点是一一对应的。所以，课堂中运用数形结合的思想方法进行教学，使学生对数的概念的理解清晰、深刻，既突破了教学难点，又为学生初中的数学学习打下扎实的基础。

如在复习因数、倍数的环节中，通过数轴既使学生直观地理解因数与倍数的特征、一个数的倍数的个数是无限的、因数的个数是有限的，又使学生形象地看到一个数的最大因数与最小倍数都是它本身。又如，在复习奇数、偶数和质数、合数时，通过对数轴的观察，学生可以清晰地发现奇数、偶数与质数、合数的分布存在明显区别，即奇数、偶数分布十分规则，而质数、合数的分布是杂乱无章的。通过想象数轴上质数、合数的出现频率，学生会发现质数出现的频率不断下降，而合数出现的频率不断上升，从而培养了学生的观察和概括能力。再如，在复习、梳理分数的过程中，通过让学生寻找真分数、假分数在数轴上的区域，让学生深刻地理解了真分数、假分数的意义，同时引发学生对真分数、假分数究竟谁多谁少的思考。从数轴上看，大部分学生会认为假分数多，但也有的学生认为不一定，学生在争论这一问题的过程中，提高了他们的辨析能力。这一问题也让学生在形象思维与抽象思维之间架起了一座沟通的桥梁，并通过报数游戏，向学生渗透了一一对应的思想。数形结合既让学生清晰地梳理了小学阶段学过的数，解决了数的概念复习的疑难问题，又提高了学生的分析能力和解决数学问题的能力。

２．形成网络图，温故知新

新课程理念下的复习课有两大任务：一是理，即对所学的知识进行系统整理，使之竖成线、横成片、结成网；二是通，即将所学知识融会贯通，弄清知识的来龙去脉，为后续学习打下扎实的基础。

小学数学中数的概念繁多杂乱，犹如一颗颗断了线的“珍珠”，如何在复习课中把这些散落的“珍珠”串成线、织成网，使数的概念形成一个整体呢？本节课教学以数轴为主线，以实数与数轴一一对应为核心，引导学生系统地梳理了小学阶段学过的数，使学生对数的概念清晰、深刻。小学数学的大部分数都属于正数范围内，那么正数范围内的数有非零自然数和分数、小数，以这条主线梳理数的概念十分清晰，能让学生构成知识网络图（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“温故而知新。”在复习课教学中，教师不仅要引导学生“温故”，更要使学生“知新”。如在复习奇数、偶数、质数、合数时，让学生观察数在数轴上的分布规律，感知奇数、偶数分布的规则和质数、合数分布的不规则；让学生想象质数、合数在数轴上的出现频率，培养学生的观察和概括能力；辨析是否还有像２、３两个连续自然数都是质数的情况，思考最多有几个连续自然数都是合数的问题，培养学生良好的数学思维方式；当学生找到无限小数时，追问学生能否在数轴上找到一个点表示无限不循环小数，这样既引导学生梳理了小数的分类，又极大地激发了学生的求知欲望；让学生辨析真分数多还是假分数多时，既是对学生思维方式的一次突破，又渗透了一一对应的思想……

这样巧用数轴进行数的概念的复习教学，充分体现了复习课不仅要“温故”，而且要“知新”，使学生获得真正的发展。

（责编杜华）

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案例背景：

我认为要上好复习课，首先要引导学生温故知新，其次要突出复习课承上启下的作用。温州市小学数学六年级备课会以“如何上好复习课”为主题展开研讨，在确定要教学“数的认识”一课时，我发现这一课的概念非常多，而且容易混淆。如何让学生清晰地建立数的概念体系，是这一课的教学难点。基于以上认识，我以数形结合和温故知新为主线，设计“数的认识”一课的教学。

案例描述：

课始，先让学生对所学的数进行系统梳理，把小学阶段学过的数分为负数、０、正数三类，形成一个完整的知识网络结构图，再把复习范围确定在正数以内，引导学生回忆正数范围内学过的数有分数、小数、百分数等，然后对这些数逐一复习。

教学片断一：

师：谁来介绍自然数２和９？

生１：２是偶数，并且是最小的偶数。

生２：２既是质数，也是８的因数。

生３：９既是奇数，也是合数。

生４：９既是１８的因数，也是３的倍数。

师：先说一说什么是因数、倍数，然后找出８的因数与倍数并在数轴上表示出来。

生５：■

师：仔细观察数轴，因数与倍数各有什么特征？

生６：我发现一个数的因数个数是有限的，而倍数的个数是无限的。

生７：我发现一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。

……

通过问题，引导学生回顾所学知识并逐一进行梳理。

教学片断二：

师：什么叫奇数、偶数？奇数有哪些？偶数有哪些？奇数、偶数的个数有多少？

师：什么叫质数、合数？质数有哪些？合数有哪些？（让学生以“开火车”的形式报２０以内的质数、合数）质数、合数的个数有多少？

师（出示下图）：观察奇数、偶数与质数、合数的数轴，它们有什么区别？

■

生１：从分布上看，奇数、偶数出现得很有规律，都是相差２，而质数与合数的分布是杂乱无章的。

生２：从分类上看，所有非零自然数是按是否是２的倍数分为奇数、偶数，而按因数的个数来分，除了质数、合数外，还有一个１。

生３：所有的奇数不一定是质数，也有合数；所有的偶数除了２是质数外，其余的都是合数。

生４：数轴越往右，质数出现的频率越低，合数出现的频率越高。

生５：从质数的数轴上看，除了２、３两个连续的自然数都是质数外，在右边的数中就再也找不到两个连续自然数都是质数了。

生６：从合数的数轴上看，有三个连续的自然数都是合数，也有四个连续的自然数都是合数，那最多有几个连续的自然数都是合数呢？

……

通过以上讨论，使学生深刻理解了这些数的概念。

教学片断三：

师：首先，请同学们在数轴上标出０．１、２．２５、一个无限小数这三个数。

师：同学们标出前两个小数没有问题，那你们能找到一个无限小数吗？

生：■、■……

师：刚才同学们找的都是无限循环小数，那你能找出一个无限不循环小数吗？

（学生陷入深深的沉思）

师：同学们到了初中后，就可以找到很多无限不循环小数了。

……

这样进行复习教学，让学生厘清了小数的分类情况（小数可以分为有限小数、无限小数，无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数），对学生的思维也提出了更高的要求。如学生只知道一个无限不循环小数π，但又无法找到一个具体的点表示π。教学中，教师可以告诉学生“初中学习数学时可以找到很多点表示无限不循环小数”，以此激发学生的求知欲望。

教学片断四：

师：这两个分数又在数轴上的哪一个点？

师：同学们，所有的分数可以分为哪几类？

生１：我将分数分为真分数、假分数两大类。

师：什么叫真、假分数？

生1：看分母与分子的大小。

师：在数轴上看，真分数、假分数都分布在哪里？（生答略）

师（出示下图）：请同学们仔细观察，是真分数多，还是假分数多？

■

生２：从数轴上看，假分数的范围更广，所以我认为假分数多。

生３：我认为真分数、假分数都是无限个，所以无法比较。

生４：假分数的分布广，所以多。

……

师：我们来做个报数的游戏，你们报一个数，我报一个数，并想一想从中发现了什么。（师生玩报数游戏）

生５：我报一个数，老师也能报一个数，所以报的数一样多。

……

通过游戏，让学生真正感受到真、假分数可以一一对应，使学生初步感知所学内容，为后续的数学学习打下基础。

教学反思：

１．数形结合，突破难点

小学阶段所学的数的概念非常多，很多数的概念只是一字之差，意思则完全不同，导致学生对这些数的概念容易产生混淆。如何在六年级的最后阶段让学生深刻理解数的概念的本质特征，更好地沟通它们之间的联系与区别，一直是困扰我们教师的重要问题。

数形结合是一种重要的数学思想方法。所谓数形结合，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数，使某些抽象的数学问题直观化、生动化、简单化，变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质。正如著名数学家华罗庚所说的“数缺形时少直观，形少数时难入微”。因此，本堂课以数轴为主线，帮助学生梳理小学阶段所有的数的概念。小学阶段学的数都属于实数，实数与数轴上的点是一一对应的。所以，课堂中运用数形结合的思想方法进行教学，使学生对数的概念的理解清晰、深刻，既突破了教学难点，又为学生初中的数学学习打下扎实的基础。

如在复习因数、倍数的环节中，通过数轴既使学生直观地理解因数与倍数的特征、一个数的倍数的个数是无限的、因数的个数是有限的，又使学生形象地看到一个数的最大因数与最小倍数都是它本身。又如，在复习奇数、偶数和质数、合数时，通过对数轴的观察，学生可以清晰地发现奇数、偶数与质数、合数的分布存在明显区别，即奇数、偶数分布十分规则，而质数、合数的分布是杂乱无章的。通过想象数轴上质数、合数的出现频率，学生会发现质数出现的频率不断下降，而合数出现的频率不断上升，从而培养了学生的观察和概括能力。再如，在复习、梳理分数的过程中，通过让学生寻找真分数、假分数在数轴上的区域，让学生深刻地理解了真分数、假分数的意义，同时引发学生对真分数、假分数究竟谁多谁少的思考。从数轴上看，大部分学生会认为假分数多，但也有的学生认为不一定，学生在争论这一问题的过程中，提高了他们的辨析能力。这一问题也让学生在形象思维与抽象思维之间架起了一座沟通的桥梁，并通过报数游戏，向学生渗透了一一对应的思想。数形结合既让学生清晰地梳理了小学阶段学过的数，解决了数的概念复习的疑难问题，又提高了学生的分析能力和解决数学问题的能力。

２．形成网络图，温故知新

新课程理念下的复习课有两大任务：一是理，即对所学的知识进行系统整理，使之竖成线、横成片、结成网；二是通，即将所学知识融会贯通，弄清知识的来龙去脉，为后续学习打下扎实的基础。

小学数学中数的概念繁多杂乱，犹如一颗颗断了线的“珍珠”，如何在复习课中把这些散落的“珍珠”串成线、织成网，使数的概念形成一个整体呢？本节课教学以数轴为主线，以实数与数轴一一对应为核心，引导学生系统地梳理了小学阶段学过的数，使学生对数的概念清晰、深刻。小学数学的大部分数都属于正数范围内，那么正数范围内的数有非零自然数和分数、小数，以这条主线梳理数的概念十分清晰，能让学生构成知识网络图（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“温故而知新。”在复习课教学中，教师不仅要引导学生“温故”，更要使学生“知新”。如在复习奇数、偶数、质数、合数时，让学生观察数在数轴上的分布规律，感知奇数、偶数分布的规则和质数、合数分布的不规则；让学生想象质数、合数在数轴上的出现频率，培养学生的观察和概括能力；辨析是否还有像２、３两个连续自然数都是质数的情况，思考最多有几个连续自然数都是合数的问题，培养学生良好的数学思维方式；当学生找到无限小数时，追问学生能否在数轴上找到一个点表示无限不循环小数，这样既引导学生梳理了小数的分类，又极大地激发了学生的求知欲望；让学生辨析真分数多还是假分数多时，既是对学生思维方式的一次突破，又渗透了一一对应的思想……

这样巧用数轴进行数的概念的复习教学，充分体现了复习课不仅要“温故”，而且要“知新”，使学生获得真正的发展。

（责编杜华）

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案例背景：

我认为要上好复习课，首先要引导学生温故知新，其次要突出复习课承上启下的作用。温州市小学数学六年级备课会以“如何上好复习课”为主题展开研讨，在确定要教学“数的认识”一课时，我发现这一课的概念非常多，而且容易混淆。如何让学生清晰地建立数的概念体系，是这一课的教学难点。基于以上认识，我以数形结合和温故知新为主线，设计“数的认识”一课的教学。

案例描述：

课始，先让学生对所学的数进行系统梳理，把小学阶段学过的数分为负数、０、正数三类，形成一个完整的知识网络结构图，再把复习范围确定在正数以内，引导学生回忆正数范围内学过的数有分数、小数、百分数等，然后对这些数逐一复习。

教学片断一：

师：谁来介绍自然数２和９？

生１：２是偶数，并且是最小的偶数。

生２：２既是质数，也是８的因数。

生３：９既是奇数，也是合数。

生４：９既是１８的因数，也是３的倍数。

师：先说一说什么是因数、倍数，然后找出８的因数与倍数并在数轴上表示出来。

生５：■

师：仔细观察数轴，因数与倍数各有什么特征？

生６：我发现一个数的因数个数是有限的，而倍数的个数是无限的。

生７：我发现一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。

……

通过问题，引导学生回顾所学知识并逐一进行梳理。

教学片断二：

师：什么叫奇数、偶数？奇数有哪些？偶数有哪些？奇数、偶数的个数有多少？

师：什么叫质数、合数？质数有哪些？合数有哪些？（让学生以“开火车”的形式报２０以内的质数、合数）质数、合数的个数有多少？

师（出示下图）：观察奇数、偶数与质数、合数的数轴，它们有什么区别？

■

生１：从分布上看，奇数、偶数出现得很有规律，都是相差２，而质数与合数的分布是杂乱无章的。

生２：从分类上看，所有非零自然数是按是否是２的倍数分为奇数、偶数，而按因数的个数来分，除了质数、合数外，还有一个１。

生３：所有的奇数不一定是质数，也有合数；所有的偶数除了２是质数外，其余的都是合数。

生４：数轴越往右，质数出现的频率越低，合数出现的频率越高。

生５：从质数的数轴上看，除了２、３两个连续的自然数都是质数外，在右边的数中就再也找不到两个连续自然数都是质数了。

生６：从合数的数轴上看，有三个连续的自然数都是合数，也有四个连续的自然数都是合数，那最多有几个连续的自然数都是合数呢？

……

通过以上讨论，使学生深刻理解了这些数的概念。

教学片断三：

师：首先，请同学们在数轴上标出０．１、２．２５、一个无限小数这三个数。

师：同学们标出前两个小数没有问题，那你们能找到一个无限小数吗？

生：■、■……

师：刚才同学们找的都是无限循环小数，那你能找出一个无限不循环小数吗？

（学生陷入深深的沉思）

师：同学们到了初中后，就可以找到很多无限不循环小数了。

……

这样进行复习教学，让学生厘清了小数的分类情况（小数可以分为有限小数、无限小数，无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数），对学生的思维也提出了更高的要求。如学生只知道一个无限不循环小数π，但又无法找到一个具体的点表示π。教学中，教师可以告诉学生“初中学习数学时可以找到很多点表示无限不循环小数”，以此激发学生的求知欲望。

教学片断四：

师：这两个分数又在数轴上的哪一个点？

师：同学们，所有的分数可以分为哪几类？

生１：我将分数分为真分数、假分数两大类。

师：什么叫真、假分数？

生1：看分母与分子的大小。

师：在数轴上看，真分数、假分数都分布在哪里？（生答略）

师（出示下图）：请同学们仔细观察，是真分数多，还是假分数多？

■

生２：从数轴上看，假分数的范围更广，所以我认为假分数多。

生３：我认为真分数、假分数都是无限个，所以无法比较。

生４：假分数的分布广，所以多。

……

师：我们来做个报数的游戏，你们报一个数，我报一个数，并想一想从中发现了什么。（师生玩报数游戏）

生５：我报一个数，老师也能报一个数，所以报的数一样多。

……

通过游戏，让学生真正感受到真、假分数可以一一对应，使学生初步感知所学内容，为后续的数学学习打下基础。

教学反思：

１．数形结合，突破难点

小学阶段所学的数的概念非常多，很多数的概念只是一字之差，意思则完全不同，导致学生对这些数的概念容易产生混淆。如何在六年级的最后阶段让学生深刻理解数的概念的本质特征，更好地沟通它们之间的联系与区别，一直是困扰我们教师的重要问题。

数形结合是一种重要的数学思想方法。所谓数形结合，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数，使某些抽象的数学问题直观化、生动化、简单化，变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质。正如著名数学家华罗庚所说的“数缺形时少直观，形少数时难入微”。因此，本堂课以数轴为主线，帮助学生梳理小学阶段所有的数的概念。小学阶段学的数都属于实数，实数与数轴上的点是一一对应的。所以，课堂中运用数形结合的思想方法进行教学，使学生对数的概念的理解清晰、深刻，既突破了教学难点，又为学生初中的数学学习打下扎实的基础。

如在复习因数、倍数的环节中，通过数轴既使学生直观地理解因数与倍数的特征、一个数的倍数的个数是无限的、因数的个数是有限的，又使学生形象地看到一个数的最大因数与最小倍数都是它本身。又如，在复习奇数、偶数和质数、合数时，通过对数轴的观察，学生可以清晰地发现奇数、偶数与质数、合数的分布存在明显区别，即奇数、偶数分布十分规则，而质数、合数的分布是杂乱无章的。通过想象数轴上质数、合数的出现频率，学生会发现质数出现的频率不断下降，而合数出现的频率不断上升，从而培养了学生的观察和概括能力。再如，在复习、梳理分数的过程中，通过让学生寻找真分数、假分数在数轴上的区域，让学生深刻地理解了真分数、假分数的意义，同时引发学生对真分数、假分数究竟谁多谁少的思考。从数轴上看，大部分学生会认为假分数多，但也有的学生认为不一定，学生在争论这一问题的过程中，提高了他们的辨析能力。这一问题也让学生在形象思维与抽象思维之间架起了一座沟通的桥梁，并通过报数游戏，向学生渗透了一一对应的思想。数形结合既让学生清晰地梳理了小学阶段学过的数，解决了数的概念复习的疑难问题，又提高了学生的分析能力和解决数学问题的能力。

２．形成网络图，温故知新

新课程理念下的复习课有两大任务：一是理，即对所学的知识进行系统整理，使之竖成线、横成片、结成网；二是通，即将所学知识融会贯通，弄清知识的来龙去脉，为后续学习打下扎实的基础。

小学数学中数的概念繁多杂乱，犹如一颗颗断了线的“珍珠”，如何在复习课中把这些散落的“珍珠”串成线、织成网，使数的概念形成一个整体呢？本节课教学以数轴为主线，以实数与数轴一一对应为核心，引导学生系统地梳理了小学阶段学过的数，使学生对数的概念清晰、深刻。小学数学的大部分数都属于正数范围内，那么正数范围内的数有非零自然数和分数、小数，以这条主线梳理数的概念十分清晰，能让学生构成知识网络图（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“温故而知新。”在复习课教学中，教师不仅要引导学生“温故”，更要使学生“知新”。如在复习奇数、偶数、质数、合数时，让学生观察数在数轴上的分布规律，感知奇数、偶数分布的规则和质数、合数分布的不规则；让学生想象质数、合数在数轴上的出现频率，培养学生的观察和概括能力；辨析是否还有像２、３两个连续自然数都是质数的情况，思考最多有几个连续自然数都是合数的问题，培养学生良好的数学思维方式；当学生找到无限小数时，追问学生能否在数轴上找到一个点表示无限不循环小数，这样既引导学生梳理了小数的分类，又极大地激发了学生的求知欲望；让学生辨析真分数多还是假分数多时，既是对学生思维方式的一次突破，又渗透了一一对应的思想……

这样巧用数轴进行数的概念的复习教学，充分体现了复习课不仅要“温故”，而且要“知新”，使学生获得真正的发展。

（责编杜华）

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