具有焊接残余应力的矩形薄板固有频率计算方法研究

高永毅，唐 果，万 文

(湖南科技大学,1.物理与电子科学学院 2.数学与计算科学学院3、能源与安全工程学院,湖南 湘潭 411201)

残余应力问题是目前国内外机械制造、加工工程研究领域的重点研究问题之一,已有不少关于残余应力研究的文献资料；其研究主要是在残余应力的试验测定[1]、评估与评价[2]、数值模拟[3]、有限元分析[4]和消除方法[5]等方面,而从理论上讨论残余应力对构件固有参数影响的文献还很少见到。本文作者在文献[6]中以轴焊缝存在残余应力的矩形薄板为例,建立其残余应力的数学模型；叠加矩形薄板各阶振型函数构成其位移模式,获得以振型函数叠加系数表示的存在残余应力时四边简支矩形薄板固有频率一种计算方法；该方法计算麻烦,反应问题不直观,很难在实际中应用。所以本文将仍以对接焊接残余应力为研究对象,研究一种简单、方便和实用的具有对接焊接残余应力的矩形薄板固有频率计算方法；并在该方法的基础上分析讨论焊接残余应力对矩形薄板固有频率的影响。本文的研究将对残余应力的评估和判断以及振动时效的研究有很大的帮助。

1 具有焊接残余应力矩形簿板的振动微分方程

图1 矩形薄板

讨论如图1所示的边长为a,b的等厚矩形薄板。假设有沿x轴的焊缝；因此有残余应力分布在板内。该残余应力的分布,由参考文献[7]测出。参考文献[6]在参考文献[7]的基础上,建立了该残余应力的数学模型为

(1)

式中：F,G为幅值；σx表示平行于x轴,即平行接合方向的残余应力；σy表示垂直于x轴,即垂直于接合方向的残余应力。

根据文献[8],薄板振动微分方程为

(2)

当板弯曲时在板内与x轴平行和垂直的残余应力有z方向的分量,参考文献[6]得出了残余应力在z方向所产生的单位面积力q为

(3)

将式(3)代入式(2)得考虑残余应力影响的振动微分方程为

(4)

式(4)为具有焊接残余应力矩形簿板的振动微分方程。

2 具有焊接残余应力矩形簿板固有频率的计算方法

2.1 计算方法

设图1所示的矩形簿板四边为简支边,其边界条件为

(5)

因此,取满足边界条件的位移模式为[4-5]：

w(x,y,t)=T(t)W(x,y)

(6)

其中：

(7)

由Galerkin原理有：

(8)

将式(3)、(6)、(7)代入式(8)积分可得：

(9)

式(9)为具有焊接残余应力矩形簿板的自由振动方程。

由式(9)可得振型函数(7)所对应的固有频率为

(10)

在弹性力学中已得出没有残余应力时四边简支矩形薄板的振型函数为

(11)

对应的固有频率公式为

(12)

将式(7)和式(11)、式(10)和式(12)比较可知,式(7)是具有焊接残余应力矩形簿板的第一阶振型函数,式(10)是m=1,n=1所对应的第一阶固有频率。由于式(11)给出的各阶振型函数都满足式(5)给出的边界条件,所以分别取式(11)对应的各阶振型函数为式(7),并将式(3)、(6)、(7)代入式(8)积分可得各阶振型函数所对应的具有焊接残余应力矩形簿板的自由振动方程和固有频率,例如：当m=2,n=1时,对应的式(7)为

(13)

将式(3)、(6)、(13)代入式(8)积分可得：

(14)

式(14)是当振型函数为式(13)时,具有焊接残余应力矩形簿板的自由振动方程。

由式(14)可得振型函数式(13)所对应的固有频率为

(15)

当m=1,n=3时,对应的式(7)为

(16)

将式(3)、(6)、(16)代入式(8)积分可得：

(17)

式(17)是当振型函数为式(16)时,具有焊接残余应力矩形簿板的自由振动方程。

由式(17)可得振型函数式(16)所对应的固有频率为

(18)

以此类推可以得出具有焊接残余应力矩形簿板的各阶固有频率。由此得出了具有焊接残余应力矩形簿板的固有频率计算方法,即：分别取没有残余应力时矩形薄板的各阶振型函数构成其位移模式,然后利用Galerkin原理获得各阶振型函数所对应的具有焊接残余应力矩形簿板的自由振动方程,最后得出其固有频率。

2.2 焊接残余应力对矩形簿板固有频率的影响分析

将式(10)、(15)和(18)与式(12)比较可知焊接残余应力对矩形簿板m=1,n=1对应的第一阶固有频率的影响部分为

(19)

与m=2,n=1对应的固有频率的影响部分为：

(20)

与m=1,n=3对应的固有频率的影响部分为：

(21)

取与参考文献(6)相同的参数a=b=1 m，h=0.004 m，E=200×109N/m2，ρ=7.7×103kg/m3，μ=0.3,F=39.2×106N/m2，G=19.6×106N/m2。利用式(12)可以计算出没有残余应力影响时矩形簿板各阶固有频率；利用式(10)、(15)、(18)有残余应力影响时矩形簿板各阶固有频率；具体计算结果见表1。

表1 矩形薄板(1 000 mm×1 000 mm×4 mm)理论计算结果

将表1的计算结果与参考文献(6)的计算和实验结果比较,其结果基本一致,所体现出的规律也是一致的,从而验证了本文提出的具有焊接残余应力的矩形簿板固有频率计算方法是正确的。

3 结 论

通过对式(19)、(20)和(21)以及表1的理论计算结果的分析可得出如下结论:

(1)得出了计算具有对接焊接残余应力的矩形薄板固有频率的简单实用的方法。

(2)与无焊接残余应力矩形簿板比较,具有焊接残余应力矩形簿板的各阶固有频率都可能增加,其对应的幅频特性曲线将发生右移。

(3)残余应力越大,矩形簿板固有频率变化越大。

(4)阶数m、n越高,矩形簿板固有频率受残余应力影响越大。

(5)在相同残余应力的条件下,材料密度越大的矩形簿板固有频率受残余应力的影响越小。

(6)在相同残余应力和材料不变的条件下,尺寸a、b越大的矩形簿板固有频率受残余应力的影响越小。

由所得出的结论(1)、(2)可知,当消除残余应力后,矩形簿板固有频率将减少,其幅频特性曲线将发生左移；这就是为什么在振动时效后,判断是否有效果必须看固有频率是否左移的原因。

[1]刘川,庄栋.基于轮廓法测试焊接件内部残余应力[J].机械工程学报,2012,48(8)：54-59.

LIU Chuan,ZHUANG Dong.Internal welding residual stress measurement based on contour method[J].Journal of Mechanical Engineering,2012,48(8)：54-59.

[2]张亦良,石显,赵建平,等.基于新型回火焊道的焊接残余应力评价[J].焊接学报,2012,33(7)：50-53.

ZHANG Yi-liang,SHI Xian,ZHAO Jian-ping,et al.Evaluation of weld-pass process on eliminating weld residual stress[J].Transactions of The China Welding Institution，2012,33(7)：50-53.

[3]赵秋,吴冲.U肋加劲板焊接残余应力数值模拟分析[J].工程力学,2012,29(8)：262-268.

ZHAO Qiu，WU Chong.Numerical analysis of welding residual stress of U-RIB stiffened plate[J].Engineering Mechanics，2012,29(8)：262-268.

[4]Dean D，Hidekazu,Murakawa． Prediction of welding distortion and residual stress in a thin plate butt-welded Joint[J]．Compuational Materials Scienee,2008( 43):353-365．

[5]Alfredsson K S，Josefson B L．Harmonies response of a spot welded box beam-influence of welding residual stresses and deformations[J]．Proc.IUTAM Symposium on the Mechanical Effects of Welding.Lulea,Sweden,June,1991: 1-8．

[6]高永毅,苏志霄,焦群英,等.残余应力对构件固有频率影响的讨论[J].机械强度,2002,24(2)：289-292.

GAO Yong-yi,SU Zhi-xiao，JIAO Qun-ying，et al.Influence on the natural frequency of component with residual stress[J].Journal of Mechanical Strength，2002,24(2):289-292.

[7][日]米谷茂著,朱荆璞,邵会孟,译.残余应力的产生和对策[M].北京:机械工业出版社,1983：252-254.

[8]曹志远.板壳振动理论[M].北京:中国铁道出版社,1989:195-100.

[9]王盛春,邓兆祥,王攀,等.四边简支条件下正交各向异性蜂窝夹层板的固有特性分析[J].振动与冲击,2012,31(9):73-77.

WANG Sheng-chun,DENG Zhao-xiang,WANG Pan,et al.Connatural characteristics analysis of rectangular orthotropic honeycomb sandwich panels with all edges simply supported[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(9):73-77.