识别函数图象的几种方法

阚元元（辽宁省沈阳市光明中学）

在中考的选择题中，有一类函数图象的识别问题.这类问题主要考察学生对函数图象的分析和理解，求解时主要应用函数解析式、函数的增减性、自变量的取值范围等知识，结合排除法，对函数图象进行判断和识别，其中蕴含着数形结合的数学思想.

一、根据函数的增减性识别函数图象

例1（2012年重庆市中考题）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行.小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场.设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S.下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）.

解析：根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段.

第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，函数图象下降；

第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，图象上升；

第三段，与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，图象

第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小直至为0，图象下降.

纵观各选项，只有B选项的图象符合.故选B.

点评：在问题情境中，如果函数随着自变量的增大而增大，则函数图象是上升的；反之，图象是下降的.如果自变量变化时函数值保持不变，那么图象应是水平的.这种根据函数的增减性识别函数图象的方法比较简洁，在近几年各地中考题中有着广泛的应用.

二、根据函数的类型识别函数图象

例2（2012年南充市中考题） 矩形的长为x，宽为y，面积为9.则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（ ）.

解析：当面积一定时，长与宽是反比例关系，又因为是正数，所以函数图象是双曲线在第一象限的部分.选C.

点评：一次函数的图象是直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线.解题时，只需确定两个变量之间是哪一类函数，就可以快速识别函数图象.

三、根据变量的特殊值识别函数图象

例3（2012年广安市中考题）时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是（ ）.

解析：从3：00开始到3：30的过程中，，时针与分针的夹角为90°；t=30，时针与分针的夹角为75°；在运行时间15分到20分的某一时刻时针与分针重合，此时y=0，表示函数图象与轴的相交.只有D符合.

点评：根据变量的特殊值，确定函数图象上特殊点（端点、交点）的位置，应用排除法是识别图象的常用方法.

四、根据函数解析式识别函数图象

例4（2012年南充市中考题）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2.若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动x秒时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（ ）.

解析：根据点D的坐标求得点A的坐标，从而求得线段OA和线段OC的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF的面积的变化情况.

因为 D（5，4），AD=2，所以 OC=5，CD=4，OA=5.

（1） 当点E在OA运动时，运动x秒（0＜x＜5），此时OE=OF=x，作EH⊥OC于H，AG⊥OC于点G，如下图.

所以EH∥AG.△EHO∽△AGO.

（2） O点E在AD上运动时（5＜x＜7），点F运动到点C时停止运动，△EOF的面积不变，图象是水平线段.

（3） 当点E在DC上运动时（7＜x＜11），如下图，EF=11-x，OC=5，

点评：在一些较复杂的问题中，如果以上的简洁方法不能识别函数图象，那么要先求出变量之间的函数解析式，再判断图象.

五、根据解析式中的系数符号识别函数图象

例5（2012年乐山市中考题） 若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a

解析：因为a+b+c=0，

所以a、b、c三个数中至少有一个正数和负数.

因为a

所以函数y=ax+c的图象是下降的，并且与轴的交点在轴的上方.

应选A.

点评：根据函数的性质，只要能确定解析式中系数的符号，就可以判断图象在坐标系中的位置，从而识别出正确的图象.