钟表上的数学问题

张金英

北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》学习了角的概念以及角的形成后，出现了有关钟表上时针和分针的夹角问题，同学们在解决此类问题时，出现了一定的困难.在学习了第五章《一元一次方程》列一元一次方程解决行程问题中的追及问题后，把这两个知识点结合起来，问题就容易解决多了.下面和大家一起探讨一下这方面的问题.

1求某一时刻钟表上时针和分针的夹角

我们知道，钟表一周被分成60个小格，每个小格对应的角度为36060°=6°，分针每分钟转动1小格，即分针每分钟转6°.时针1小时转6个格，即时针每小时转30°.把12点（0点）线看做是起始线，把某一时刻的分钟数乘以6°就可以得到分针转过的角度，得出分针与起始线的夹角，简称分针角，定出分针的位置.同样，把某一时刻的时间看做时针转过的小时数（分针转化为小时），小时数乘以30°，就可以得到时针转过的角度，得出时针与起始线的夹角，简称时针角，定出时针的位置.这时，再计算分针角与时针角的差（较大的角减去较小的角），就可以得到分针与时针的夹角.此方法好处在于省去了画钟表确定时针和分针位置的步骤，易于理解，计算简便，符合七年级学生的学情.

例1求7点22分时，时针与分针的夹角

解先求分针角22×6°=132°，再求时针角把7点22分转化为72260小时，72260×30°=221°，221-132=79°，所以7点22分时，时针与分针的夹角是79°.

说明分针与时针的夹角是指小于或等于平角，所以当时针角与分针角的差大于180°时，可以用360°减去它们的差，就得到分针与时针的夹角.

例2求2点52分时，分针与时针的夹角

解分针角52×6°=312°，时针角25260×30°=86°312°-86°=226°，

226°﹥180°，那么，2点52分时，分针与时针的夹角就是360°-226°=134.

2知道分针与时针的夹角，求时间

钟表上，分针和时针是同方向转动的，分针转速快，每小时转360°，时针转速慢，每小时转30°，钟表上分针和时针的转动就形成了数学上的追及问题.

例3经过多长时间分针与时针重合一次？

分析分针与时针重合一次指的是，它们从同一个位置同时出发，经过多长时间，分针比时针多转一圈（360°）.

解设经过x小时分针和时针重合一次，

根据题意得360x-60×=360，

解得x=1211.

答：经过1211小时分针比时针重合一次.

例4在2～3之间，何时分针与时针的夹角为27°？

分析2点时，分针指向12，时针指向2，此时分针与时针的夹角为60°.若分针与时针的夹角为27°，27°<60°，分两种情况：时针在前27°时和分针在前27°时.

解设经过x小时分针与时针的夹角为27°.

1）当时针在前27°时，由题意得

30x+60=360x+27，

解得x=110，

110小时=6分钟.

2）当分针在前27°时，由题意得

30x+60=360x-27，

解得x=29110，

29110小时=15911分钟.

答：在2点6分或2点15911分时分针与时针的夹角为27°.

例5在1～2之间，何时分针与时针的夹角为90°？

分析1点时，分针指向12，时针指向1，此时分针与时针的夹角为30°.若分针与时针的夹角为90°，90°>30°，分两种情况：分针在时针前90°时或分针在时针前270°.

解设经过x小时分针与时针的夹角为90°.

1）当分针在时针前90°时，由题意得

30x+30=360x-90，

解得x=411，

411小时=21911分钟.

2）当分针在时针前270°，

由题意得

30x+30=360x-270，

解得x=1011，

1011小时=54611分钟.

答：在1点21911分或1点54611分时分针与时针的夹角为90°.

点评解决知道夹角求时间的问题，一般是先求出时针和分针的起始的夹角，分清所求时间的夹角与起始夹角的大小关系，当起始夹角大于所求时间的夹角时，分时针在前时和分针在前时两种情况列方程；当起始夹角小于所求时间的夹角时，分针在时针前α°时或分针在时针前（360°-α°）两种情况列方程.