高中数学建模思想细分详解

文范国庆

摘 要：数学建模就是将数学知识归类概括为数学模型，以便于指导同类问题的解决。结合教学实践对高中数学建模思想进行了详细的解说。

关键词：高中数学；建模思想；问题分析；简化假设

数学建模就是将数学问题进行归类提炼，概括为数学模型，然后通过该模型指导同类问题的解决。其实高中数学学习的知识点有限，我们只要认真梳理，就可以将他们归类分别建立模型，诸如，不等式模型、函数模型、几何模型、数列模型、三角模型等。这样就能指导学生将抽象知识转化成解决问题的方法。鉴于此，笔者将高中数学建模思想进行详细分析与解说。

一、模型准备

数学模型是构建数学理论和实际运用之间的桥梁，所以我们首先要用数学语言表达实际问题。要认真分析实际问题背景，搜集各种必需数据和信息，挖掘隐含的数学概念，并一一捋顺其关系。这里举例进行分析：

某连锁酒店有150个客房，根据调查显示：单价定为160元/时，入住率为55%，当单价定为140元/时，入住率为65%，单价定为120元/时，入住率为75%，单价定为100元/时，入住率为85%。若想使酒店家获得最大收益，客房定价为多少合适？

客房入住利润问题在现实生活和数学练习中很常见，这就需要我们通过建模来形成解决方法。根据题意我们分析数据关系可以归纳出，总共150间客房，单价每下调20元，入住率提高10%，我们需要求出每下降1元入住率会提高多少，这样才能算出恰当的价格点。

二、简化假设

简化假设是将复杂、抽象的问题进行总结概括的过程，是我们成功筛取有效数据进行分析，得出结论的转折过程。现实中的数学问题往往是复杂多变的，需要我们对信息和数据进行有效提纯、加工和简化，才能完成建模过程。所以，我们在阅读应用题时，要发挥充分的观察和想象能力，抓主要矛盾，一一罗列出关键信息。

具体到上面的问题，结合以上背景分析，我们可以罗列有效信息如下：

1.共150间客房，每间定价最高160元；

2.根据给出数据分析，单价下调与住房率呈现反比例；

3.每间客房单价应该相等。

簡化假设是将复杂问题直观化，否则问题将无法解决。比如，上面的问题如果每间客房价格不一样那就无法计算，或者单价和入住率不成线性比例那也将变得复杂。

三、建立模型

参照以上分析和假设，我们寻找到相关数学变量间的关系，并根据数量关系建立模型。这中间应充分利用已知领域的已知模型或结果，通过类比联想等方法构造模型。此外，我们还要注意，建立数学模型时还要注意一个原则：能用初级方法绝不用复杂方法，否则将会画蛇添足。

1.分析

设该酒店一天总收益为y，设攫取最大利益时是在160元的基础上每间客房单价下调x元。所以每降价1元，入住率就增加10%÷20=0.005。因此y=150×（160-x）×（0.55×0.005x）。由0.55+0.005x≤1可知0≤x≤90于是问题转化为：当0≤x≤90时，y的最大值是多少？

2.求解

根据二次函数求最值可得到当x=25，即住房定价为135元时，y取最大值13668.75（元）。

3.讨论与验证

（1）容易验证此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便于管理，定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。

（2）如果定价为180元，住房率应为45%，相应的收入只有12150元，因此假设（1）是合理的。

讨论与验证是解答现实问题的必备过程，也是数学建模的重要保障。由于现实问题经过简化，所以，在解题问题过程中我们一定要还原场景进行讨论，如此才能得出最契合实际的结论。

参考文献：

梁树花.高中数学应用题中的建模思想［J］.高中数学教与学，2013（02）.

编辑 王团兰