线性代数课程教学体会点滴

杨二光，汪忠志

（安徽工业大学 数理学院，安徽 马鞍山243002）

线性代数是高等学校理工科各专业的一门重要的公共基础课，对各专业的后续课程学习起着决定性的作用。通过对该课程的学习，学生的抽象思维能力及运用数学方法分析问题和解决问题的能力都能得到较好的培养。但该课程具有较强的抽象性与逻辑性，多数学生在学习过程中感到课程枯燥乏味及内容不连贯，进而导致学习积极性不高，再加上学时少，内容多等因素，造成多数高校线性代数课程的教学效果很不理想。因此，如何激发学生的学习兴趣，使他们尽快掌握线性代数这一学科的学科特点和学习方法，调动学生学习的主观能动性，进而提高线性代数课程的教学效果，一直是线性代数教学工作者普遍关注的问题。笔者尝试从线性代数教学中存在的问题入手，给出解决这些问题的一些对策。

一、如何激发学生的学习兴趣

一是从具体到抽象。线性代数的内容比较抽象，尤其是相关概念方面。在刚开始的学习中，学生的难点主要集中在概念过于抽象，难以理解，这是导致学生学习兴趣不高的主要原因之一。但抽象源自于具体，了解了概念产生的具体背景能加深对概念的理解。因此引入相关概念时应从概念产生的背景出发，由实例来导入概念，做到先具体后抽象，使学生先对概念有一个直观的认识。如在引入行列式的概念时，作为引例，先利用学生熟悉的消元法给出二元、三元线性方程组的解，然后由解的分母的表示形式自然地引入二阶、三阶行列式的概念；再通过对二、三阶行列式所表示的代数和的特点的分析，自然地引入n阶行列式的概念。再如，在讲述向量空间的概念时，可先将学生熟知的平面向量、空间向量的代数表示形式、运算及满足的运算律推广到n维向量上去，再由n维向量的运算及满足的运算律自然抽象出一般向量空间的概念。

二是注重应用所学知识解决实际问题。目前，一些高校均存在课堂教学与应用脱节的现象。由于各种原因，多数教师在线性代数课程的教学中只强调理论教学而忽视了理论知识在解决实际问题中的应用，导致学生不了解所学知识的应用背景，从而缺乏学习积极性。针对这一现象，教师若能在教学过程中适当穿插一些线性代数相关知识在生产及生活中的应用，一方面可以加深学生对所学知识的理解，另一方面还能培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，激发学生的求知欲。线性代数中用于解决实际问题的相关内容很多，例如在讲述线性方程组理论在解决实际问题中的应用时可引入复杂化学方程式的配平问题。学生在中学里所学化学方程式的配平方法主要有：观察法、奇数配偶法、得失法、待定系数法等，其中待定系数法即为线性方程组理论在化学方程式的配平问题中的应用，但由于学生在中学里还没有系统学习线性方程组的解法，能用这一方法配平的化学方程式很少。学习了线性方程组的解法后，就能用这种方法去配平较为复杂的化学方程式。例如，考虑化学方程式C3H8＋O2→CO2＋H2O的配平问题，设x1C3H8＋x2O2＝x3CO2＋x4H2O，得线性方程组

求解得其中一组解为x1＝1，x2＝5，x3＝3，x4＝4，从而得配平方程式为：C3H8＋5O2＝3CO2＋4H2O。

三是采取互动式教学方式，促使学生变被动学习为主动学习。目前，为保证教学进度，一些高校线性代数课程的教学均采取满堂灌的教学方式，缺少与学生之间必要的互动。线性代数课程的内容的抽象性使得学生很难在短时间内消化所学内容，再加上学生的注意力很难一直集中在教学内容上，这导致前面所学内容还没消化又要学习新的内容，造成学生“坐晕车”的局面，影响学生的学习积极性。为改变这一局面，可在每节课的中间出一道小的思考题让学生用几分钟的时间独立解决，这样可以为学生留有独立思考的余地及消化前面所学内容的时间，变被动学习为主动学习。

四是在教学过程中穿插一些与教学内容相关的数学史。例如在讲述范德蒙行列式的时候，可以介绍一下法国数学家范德蒙对代数学特别是对行列式理论的贡献以及其后的一些数学家在行列式理论方面所做的工作等。这一举措可以让学生了解相关知识的来龙去脉，加深学生对所学知识的理解，而且还能增加教学的生动性，趣味性，提高学生的学习兴趣，将部分学生分散的注意力重新吸引到教学内容上来。

二、如何让学生对课程形成整体认识

目前，多数理工科高校的线性代数的教学内容基本相同，主要内容包括：行列式、矩阵、n－维向量空间、线性方程组、特征值及特征向量、二次型等六大块。对学生而言，由于以前没有接触过这门课程，因此分散的块状结构使得学生普遍感到线性代数知识点较多，内容不连贯。这就要求教师在教学过程中突出教学的重点、难点，理清课程的的主线，使学生对课程有一个整体的把握。

线性代数看起来内容较为松散，实际上是“形散而神不散”，如果仔细分析课程各部分内容，线性方程组理论贯穿了课程的始终。如行列式、矩阵等概念的产生的背景都与线性方程组的解有关，反过来这些概念又为解线性方程组服务。此外，线性代数中很多问题都可以转化为对线性方程组的研究，如向量组的线性相关性与齐次线性方程组有无非零解有关：齐次线性方程组的向量表示形式为x1α1＋x2α2＋…＋xnαn＝0为方程组的系数矩阵的列向量，这样，向量组α1，α2，…，αn是否线性相关归结为是否存在一组不全为0的数k1，k2…，kn，使得k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝0，即齐次线性方程组有无非零解。再如，数λ是否是方阵A的特征值归结为齐次线性方程组（λI－A）x＝0有无非零解。由此看出，线性方程组理论在线性代数中起着举足轻重的作用，它把行列式、矩阵、向量等知识点紧密联系起来，是课程的主线。学生在学习过程中只要把握住这条主线，学习起来就不会感到毫无头绪了。因此教师在线性代数的教学过程中应牢牢把握线性方程组理论这条主线，将线性方程组理论贯穿于整个线性代数课程的教学过程中去，从而使学生对课程有一个整体的认识与把握。

三、如何解决学时数偏少的问题

目前，多数高校线性代数课程的总学时为32学时，而要讲授的内容包括行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等，相对教学内容来说，学时数偏少。解决这一矛盾的直接方法是压缩教学内容或增加学时，但为了确保教学质量，多数高校均要求在教学内容和教学要求上都不能降低，而且根据教学大纲的要求，增加学时也不现实，因此，解决这一矛盾只有用间接的方法。

一是积极引导学生做好课前预习。教师可以在当次课程结束时告诉学生下次课程要学习的大致内容，引导学生在预习的时候把一些简单的内容先消化掉，对难以理解的内容在课堂上着重去听。这样，可以使学生带着问题听课，使听课更具有目的性，从而提高课堂效率。这一做法还可以培养学生自主学习的习惯，提高自学能力，为将来独立研究问题打下基础。

二是合理使用多媒体教学手段。目前，人们对多媒体教学有“优点论”及“缺点论”两种不同的观点。前一观点认为多媒体教学可以增加教学容量，节省教师讲课的时间，提高教学效率；可以弥补教师自身不足，完善课堂教学结构；可以将抽象的问题直观化，提高学生的思维能力。后一观点则认为多媒体教学节奏太快，学生无法跟上教学进度；无法体现教师的主导作用及学生的主体地位等。上述两种说法各有道理。

对线性代数课程来说，在板书与行列式、矩阵、线性方程组等有关的内容时要占用大量时间，因此在学时数较少的情况下，单纯依靠传统板书教学方式很难按时完成教学任务。要解决这一矛盾，必须使多媒体教学与传统教学方式实现有机结合，比如在矩阵、线性方程组等章节采用多媒体教学，而对逻辑性强、推理严格的内容则由板书来完成。这样才能做到既节约了时间，又保证了教学质量。

以上是笔者在线性代数教学中的一些体会与思考。当然，在线性代数的教学中还存在其它的一些问题，比如，如何针对不同的专业搞好线性代数的教学，这些问题有待于在以后的教学实践中加以解决。

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