时滞类Lorenz系统的Hopf分支

李德奎，连玉平

(定西师范高等专科学校数学系，甘肃定西 743000)

时滞类Lorenz系统的Hopf分支

李德奎，连玉平

(定西师范高等专科学校数学系，甘肃定西 743000)

对类Lorenz系统的状态变量加上时滞得到一个泛函微分动力系统——时滞类Lorenz系统．首先给出了该系统仅存在零平衡点的条件，然后根据系统在零平衡点处的线性化系统对应的特征方程根的分布情况，给出了系统在零平衡点处稳定性和发生Hopf分支的条件，最后通过一些数值模拟验证了所得结论的正确性．

时滞类Lorenz系统；零平衡点；稳定性；Hopf分支

自1963年气象学家Lorenz提出第一个经典的Lorenz系统[1]以来，大量的混沌系统相继被提出，例如Chen系统[2]、Lü系统[3]、Liu系统[4]、Qi系统[5]、T系统[6]等．近年来，分支问题的研究与应用已成为动力系统中的重要课题，其中Hopf分支是一类非常重要的分支，在生物学、化学等众多科学领域中被广泛研究和应用．所谓Hopf分支就是指参数变化时，系统在平衡点附近出现小振幅的周期解．文献[7]中提出了一个类Lorenz系统，并研究了它的分支规律，该系统的方程为：

其中x,y,z为系统的状态变量，a,b,c,d为系统参数．该系统仅有两个非线性项，与其它的混沌或超混沌系统相比，结构更加简单，在混沌掩饰保密通信领域具有潜在的应用价值．

在通信过程中信号的传输会发生拥挤阻塞等现象，在种群生态系统中，捕食者在具有捕食能力之前大都需要一定的成长时间和成熟时间，因此，时滞在动力系统中是普遍存在的．基于以上考虑，本文在文献[7]提出的类Lorenz系统中，给状态变量施加时滞得到一个泛函微分动力系统，称之为时滞类Lorenz系统，并首先给出了该系统仅存在零平衡点的条件，然后通过系统在零平衡点处的线性化系统对应的特征方程根的分布，得出了该系统在零平衡点的稳定性条件和存在Hopf分支的条件，最后通过一些数值模拟验证了所得结论的正确性．本文的研究可以看作是对文献[7]研究结果的进一步拓展．

1 时滞类Lorenz系统

在类Lorenz系统（1）中考虑时滞现象，构造一个时滞类Lorenz系统为：其中x,y,z为系统的状态变量，a,b为系统参数，τ(＞0)为时滞，可以理解为捕食者成熟所用的时间或信号传输的延迟时间．

2 时滞类Lorenz系统平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性

在平衡点O（0,0,0）处由线性化系统（1）可得到线性系统：

根据Routh-Hurwitz定理可知，特征方程（6）的所有根都具有负实部，所以当τ=0时，类Lorenz系统（1）的平衡点O（0,0,0）是渐近稳定的．

3 数值仿真

因为在参数a＞0且b＜0的情况下，已讨论了系统（2）的平衡点O(0,0,0)的稳定性问题，所以不妨取a=5，b=-4，这时系统（2）可表述为：

利用Matlab软件计算得方程（9）的正实根ω0=3.3294，易得f′(ω02)=0.57×103＞0，方程（14）中τ0=0.2954．因此，定理可具体化为下面的推论．

推论 若a＞0、b＜0、c＞0、d＞0，且f′(ω02)＞0，则有：

1）当τ∈[0,0.2954)时，系统（21）的平衡点O(0,0,0)是渐近稳定的；

2）当τ＞0.2954时，系统（21）的平衡点O(0,0,0)是不稳定的；

3）当τ=0.2954+0.6007kπ(k=0,1,2,3,…)时，系统（21）在平衡点O(0,0,0)处发生Hopf分支，产生极限环．

下面利用Matlab软件，绘出时滞τ取不同值时系统（21）的状态变量随时间t变化的轨线图（图1、图2、图3）和系统（21）的相图（图4），以说明所得结论的正确性．

图1 系统 (21) 的x,y,z随时间t的轨线 (τ=0)

由图1可知，当τ=0时，类Lorenz系统（1）在平衡点O(0,0,0)是渐近稳定的．

图2 系统 (21) 的状态变量x随时间t的轨线

从图2可以看出，当时间t∈[0s,50s]时，时滞τ=0.28，系统（21）的状态变量x在平衡点O(0,0,0)是渐进稳定的；当时间t∈[50s,100s]时，时滞τ=0.2954，系统（21）的状态变量x在平衡点O(0,0,0)产生了等振幅的周期解，发生Hopf分支；当时间t∈[100s,150s]时，时滞τ=0.3，系统（21）的状态变量x在平衡点O(0,0,0)是发散的．

图3 系统 (21) 的状态变量y随时间t的轨线

从图3可以看出，当时间t∈[0s,50s]时，时滞τ=0.28，系统（21）的状态变量y在平衡点O(0,0,0)是渐进稳定的；当时间t∈[50s,100s]时，时滞τ=0.2954，系统（21）的状态变量y在平衡点O(0,0,0)产生了等振幅的周期解，发生Hopf分支；当时间t∈[100s,150s]时，时滞τ=0.3，系统（21）的状态变量y在平衡点O(0,0,0)是发散的．

图4 时滞τ取不同值时, 系统 (21) 在x y投影面的相图

从图4可以看出，当时滞τ=0.28时，系统（21）在平衡点O(0,0,0)是渐进稳定的；当时滞τ=0.2954时，系统（21）在平衡点O(0,0,0)发生Hopf分支，产生如图4所示的极限环；当时滞τ=0.3时，系统（21）在平衡点O(0,0,0)是发散的．

4 结 语

因为时滞是动力系统中普遍存在的现象，所以研究泛函微分动力系统的稳定性和分支是非常必要的．因此，本文研究了时滞类Lorenz系统的平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性问题，首先给出了系统仅存在零平衡点的条件，通过分析系统在零平衡点处的线性化系统对应的特征方程根的分布，得出系统在零平衡点处的稳定性条件和存在Hopf分支的条件，最后给出一些数值模拟验证了所得结论的正确性．本文研究的问题可以看作是对文献[7]研究结果的进一步拓展．

[1] Rossler Q E. An equation for continuous chaos [J]. Phys Lett A, 1976, 57: 397-398.

[2] Chen G, Ueta T. Yet another chaotic attractor [J]. Int J Bifur Chaos, 1999, 9: 1465-1466.

[3] Lü J, Chen G. A new chaotic attractor coined [J]. Int J Bifur Chaos, 2002, 12: 659-661.

[4] Liu C, Liu T, Liu L, et al. A new chaotic attractor [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 22: 1031-1038.

[5] Qi G, Chen G, Du S, et al. Analysis of a new chaotic system [J]. Physica A, 2005, 352: 295-308.

[6] Tigan G. Analysis of a 3D chaotic system [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 36: 1315-1319.

[7] 杨留猛, 余建宁, 安新磊, 等. 一个新三维自制系统的混沌分析及电路模拟[J]. 重庆理工大学学报, 2012, 26: 127-133.

Hopf Bifurcation of the Delayed Lorenz-like System

LI Dekui, LIAN Yuping
(Department of Mathematics, Dingxi Teachers’ College, Dingxi, China 743000 )

The delayed Lorenz-like system proposed in this paper is a system resulting from the addition of time delay to the state variables of Lorenz-like system. Firstly, the condition of Lorenz-like system only at zero equilibrium point was analyzed; secondly, according to the roots distribution of the associated characteristic equation corresponding to the linearized system of the system at the zero equilibrium point, the conditions were obtained for the asymptotic stability of the system and the emergence of Hopf bifurcation when the system stayed at zero equilibrium point; finally, some numerical simulations were given to verify the correctness of the conclusion.

Delayed Lorenz-like System; Zero Equilibrium Point; Stability; Hopf Bifurcation

O175

A

1674-3563(2014)02-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2013-09-18

教育部科技研究重点项目(212180)；甘肃省国际科技合作计划项目(1104WCGA195)；定西师范高等专科学校青年项目(1329)

李德奎(1979- )，男，甘肃通渭人，讲师，硕士，研究方向：混沌及复杂网络的同步与控制