一类三阶混沌系统的反馈控制实验设计

赵海滨 胡智勇

(东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳 110819)

混沌理论在现代科学领域中应用广泛,例如将混沌理论用于微弱信号检测、故障诊断、保密通信和图像加密等[1]。金晓宏等[2]提出了一个结构简单的三阶混沌系统,并对该混沌系统进行了动力学分析。该混沌为三阶严反馈系统,但不同于Genesio-Tesi系统和Coullet系统。

本文以该三阶混沌系统为研究对象,采用MATLAB/Simulink软件进行建模和数值仿真。本文采用三种方法分别设计反馈控制器,进行该混沌系统的平衡控制,并对反馈控制器的稳定性进行分析。最后对数值仿真结果进行分析,验证了算法有效性。

1 混沌系统

本文研究的三阶混沌系统状态方程[2],表示为:

其中,x1、x2和x3为混沌系统的状态变量,a、b和c为常数。当a=1.2,b= 0.62,c=1时,该系统处于混沌状态。

采用MATLAB/Simulink软件进行该混沌系统的数值仿真,采用变步长的四阶-五阶龙格库塔算法(ode45算法),进行常微分方程的数值求解[3]。混沌系统的初始状态设定为x1( 0) = 1.5,x2(0) = -2 ,x3(0) = 2.5,最大步长为0.0001s,仿真时间为400s。该混沌系统仿真后,状态变量x1和x2的二维相图,如图1所示,状态变量x1和x3的二维相图,如图2所示。

2 反馈控制器1

反馈控制器的结构简单,容易实现[4]。对于该三阶混沌系统,设计反馈控制器进行系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零,即收敛于系统唯一的平衡点O( 0,0,0)。在混沌系统的第一个状态方程添加反馈控制器,进行系统的平衡控制。带有控制输入的受控混沌系统,表示为:

图1 状态变量x1和x2的二维相图Fig.1 Two-dimensional phase diagram of state variables

图2 状态变量x1和x3的二维相图Fig.2 Two-dimensional phase diagram of state variables x1 and x3

其中,u1为反馈控制器。反馈控制器u1设计为:

其中,k1为常数,且k1＞0。将该控制器带入到状态方程中,在平衡点的雅克比矩阵,表示为:

本文将参数k1设定为k1=5。通过计算,可以得到矩阵A1的特征值分别为λ1=-5.057,λ2,3=- 0.472 ± 0.792i。由于矩阵A1特征值的实部均小于零,因此状态变量x1、x2和x3均渐进收敛到零。因此,设计的反馈控制器能够进行混沌系统的平衡控制,状态变量均渐进收敛到零。

图3 反馈控制器u1作用下状态变量的响应曲线Fig.3 The response curve of the state variable under the action of the feedback controller u1

图4 反馈控制器u1的响应曲线Fig.4 Response curve of feedback controller u1

混沌系统的初始状态设定为x1( 0)= 1.8,x2(0) = -2,x3(0)=2。采用MATLAB/Simulink软件进行系统仿真,采用ode45算法进行常微分方程的数值求解。采用反馈控制器u1进行平衡控制,状态变量的响应曲线,如图3所示,反馈控制器u1的响应曲线,如图4所示。仿真结果表明,该反馈控制器能够进行混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零。

3 反馈控制器2

在混沌系统的第二个状态方程添加反馈控制器,进行系统的平衡控制。带有控制输入的受控混沌系统,表示为:

其中,u2为反馈控制器。反馈控制器u2设计为:

其中,k2为常数,且k2＞0。将该控制器带入到状态方程中,在平衡点的雅克比矩阵为:

参数k2设定为k2=3.5,可以得到矩阵A2的特征值分别为λ1,2=- 0.556 ± 0.213i,λ3=-3.389。由于矩阵A2特征值的实部均小于零,因此混沌系统的状态变量均渐进收敛到零,该反馈控制器能够进行混沌系统的平衡控制。

采用MATLAB/Simulink软件进行系统仿真后,混沌系统状态变量的响应曲线,如图5所示,反馈控制器u2的响应曲线,如图6所示。仿真结果表明,控制器能够进行该混沌系统的平衡控制。

图5 反馈控制器u2作用下状态变量的响应曲线Fig.5 Response curve of state variable under the action of feedback controller u2

图6 反馈控制器u2的响应曲线Fig.6 Response curve of feedback controller u2

4 反馈控制器3

在混沌系统的第三个状态方程添加反馈控制器,进行系统的平衡控制。带有控制输入的受控混沌系统,表示为:

其中,u3为反馈控制器。反馈控制器u3设计为:

其中,k3为常数,且k3＞0。将该控制器带入到状态方程中,在平衡点的雅克比矩阵为:

参数k3设定为k3=3.3时,矩阵A3的特征值分别为λ1=- 0.324,λ2,3=- 0.338 ± 1.894i。由于矩阵A3特征值的实部均小于零,因此混沌系统的状态变量均渐进收敛到零,该反馈控制器能够进行混沌系统的平衡控制。

采用MATLAB/Simulink软件进行系统仿真后,混沌系统状态变量的响应曲线,如图7所示,反馈控制器u3的响应曲线,如图8所示。仿真结果表明,该反馈控制器能够进行混沌系统的平衡控制。

5 结论

图7 反馈控制器u3作用下状态变量的响应曲线Fig.7 The response curve of the state variable under the action of the feedback controller u3

图8 反馈控制器u3的响应曲线Fig.8 Response curve of feedback controller u3

对于一类三阶混沌系统,本文设计了三种反馈控制器进行系统的平衡控制,对反馈控制器的稳定性进行分析。通过MATLAB/Simulink软件进行数值仿真,采用变步长的ode45算法进行常微分方程的数值求解。仿真结果表明,设计的反馈控制器能够进行混沌系统的平衡控制。设计的反馈控制器比较简单,容易实现。该仿真实验有助于学生对混沌控制的理论理解和实际应用。