带有预防性维修的温贮备可修系统的二元最佳维修-替换策略

樊 伟，郑海鹰

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

带有预防性维修的温贮备可修系统的二元最佳维修-替换策略

樊 伟，郑海鹰†

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

对有两个不同型部件和一个修理工的温贮备可修系统进行研究．假定两部件的工作故障修理均服从几何过程，利用预防性维修和马尔可夫更新过程获得了系统平均成本率的精确表达式，并得到使得系统平均成本率最小的方法．

温贮备系统；最小维修；预防性维修；几何过程；平均成本率

在早期研究的维修替换问题中，维修替换模型主要集中于简单的可修系统，一般是冷贮备可修系统[1-5]．在许多实际应用中，通常采用预防性维修来延长系统寿命、减少系统的平均费用．1994年，张远林[6]首先对带有预防性维修几何过程模型的一个冷贮备简单可修系统进行了研究，在他的研究中，假设每隔一段时间T对系统进行一次预防性维修，得到了系统长期运行平均费用率的精确表达式，通过分析可得到最佳替换策略N*．基于文献[6]的研究，张远林和Lam Yeh在文献[7]中又考虑了二元替换策略 (T,N) 的最优化，其中T是两次预防性维修的时长，通过使冷贮备简单可修系统的平均成本率最小化的方法得到了最佳二元替换策略 (T,N)*．后来，张远林等人又提出了另一种预防性维修模型[8-13]，在这种模型中，系统故障是不可修的且会引起巨大损失．基于几何过程的修复，是为了使系统操作过程最优化而采用的二元替换策略[14]．受以上研究的启发，笔者对基于几何维修过程模型的带有预防性维修的温贮备系统进行研究．在本文所给模型中，部件1是主要部件，有使用和修理的优先权，每隔一段时间T对部件1进行定期的预防性维修；部件2作为贮备部件，仅在部件1进行预防性维修或故障维修时使用．由于受到温度和压强等的影响，部件2在贮备时会出现故障，出现故障后对其进行最小维修．最小维修是当机器发生故障时，马上进行修理，把失效部件更换掉，且想办法尽快使其恢复到工作状态．最小维修使得部件恢复成为工作状态，因为所更换修复的零件相对部件中总部件的数量较少，因此，最小维修基本不改变部件的失效率函数．假设部件1的故障修理时间服从几何修理过程，部件2在贮备期间的失效率函数为h(t)，每当其失效时都采用最小维修，且维修时间忽略不计．考虑二元策略 (T,N)，其中T是两次预防性维修的时间间隔，N是部件1的故障次数，即当部件1故障的次数达到N时考虑对其进行替换，从开始到对部件1进行替换是一个更新周期．下面的主要目标是建立一个优化模型来得到系统平均成本率的精确表达式并找到两次预防性维修的时间间隔T和部件1的故障次数N，即最佳策略(T,N)*，使得系统的平均成本率最小．最佳策略(T,N)*可用理论分析或数值分析的方法得到．

1 模型假设

对于带有预防性维修的基于几何过程的两部件温贮备可修系统给出如下假设．因为部件1在工作过程中的成本比部件2的成本小，收益比部件2大，所以假设部件1是主要部件是合理的．

假设1 开始，两部件都是新的，部件1处于工作状态，部件2处于温贮备状态．

假设2 每隔时间T对部件1进行一次预防性维修，预防性维修后修复如新．在部件1工作T2时间时对部件2进行最小维修[15]，最小维修的时间可以忽略不计且最小维修不改变部件的失效率函数．

假设3 工作中的故障维修服从几何修理过程，预防性维修和故障维修是相互独立的，即{X(n),i=1,2,...}和{Z(n),i=1,2,...}是独立同分布的随机变量．

ii

假设4 当两部件均故障时系统故障，系统故障会带来损失，在第n个工作周期中系统造成的损失用Δn表示，Δn,n=1,2,…是独立同分布的，期望值EΔn=δ．系统还有其它类型的损失，其和系统不工作的时间长度成正比，比率为v．

图1 系统的可能发展进程图

假设6 两部件工作时的故障维修均服从几何修理过程，贮备期间，部件2的失效率函数是h(t)．

假设7 由于部件1有使用的优先权和修理的优先权，部件2在某些阶段中的工作时间为0，修理时间也可能为0．

为了方便，从第n– 1次预防性维修完成到第n次预防性维修完成之间的时间间隔称为第n个阶段，从第n– 1次故障修理完成到第n次故障修理完成的时间间隔称为第n个周期，两次替换之间的时间间隔称为系统的一个更新周期．

2 在策略 (T, N) 下平均成本率的计算

下面利用以上模型进行一些理论分析，利用更新回报定理给出在策略 (T,N) 下系统长期运行的平均成本率的精确表达式．

2.1 一些基本的初等计算

2.2 平均工作时间和平均修理时间的计算

U是系统在一个更新周期中总的工作时间，U=U1+U2，其中U1和U2分别为部件1和部件2在一个更新周期中的工作时间．

其中，T是两次预防性维修的时间间隔，Zi(n)是第n个工作周期中第i次预防性维修的时间长度，ξ(n)是第n个工作周期中部件2的工作寿命．

i

V是系统在一个更新周期中总工作故障的修理时间，V=V1+V2，其中V1和V2分别为部件1和部件2在一个更新周期中的修理时间．

其中，Yn是第n个工作周期中部件1的故障修理时间，ηi(n)是第n个工作周期中部件2工作故障的修理时间．

P是系统在一个更新周期中总的预防性维修时间，P=P1+P2，其中P1和P2为部件1和部件2在一个更新周期中的预防性维修时间．

其中ξi(n)可能为0．

下面计算一个更新周期中各状态的平均时间．由（2）、（4）、（8）、（9）式有：

2.3 在策略 (T, N) 下系统的平均成本率的计算

因为部件1有使用和修理的优先权，所以在系统的整个运行过程中，部件1只有3种状态：工作状态、预防性维修状态、故障维修状态．L表示更新周期的长度，则有：

其中cv1、cv2、v、β1、β2、cu1、cu2分别为单位时间内部件1、部件2的维修费用，系统的故障花费费用，部件1、部件2的预防性维修费用和部件1、部件2的工作收益，α和cf为故障带来的损失．

（26）式是关于T和N的函数式，分别求C(T,N)对T、N的一阶偏导数并令其等于0，解方程组

可得到T*,N*，即使得系统的平均成本率最小的最佳策略(T,N)*．

3 结 语

本文对两不同型部件的温贮备系统的维修替换策略进行了研究，在假定两部件的工作故障修理均服从几何过程的前提下，利用预防性维修和马尔可夫更新过程获得了系统平均成本率的精确表达式，并给出了使得系统平均成本率最小的方法．本文所给的温贮备系统中，部件1为主要部件，部件2为贮备部件，贮备部件在贮备期间可能会发生故障，这比假设贮备部件在贮备期间不会发生故障的冷贮备更具实际意义，因此，对温贮备系统的维修替换策略的研究有着更为广泛的实际应用．

[1] Zhang Y L. An optimal geometric processes model for a cold standby repairable system [J]. Reliab Eng Syst Saf, 1999, 63: 107-110.

[2] Zhang Y L, Wang G J, Ji Z C. Replacement problems for a cold standby repairable system [J]. Int J Syst Sci, 2006, 37: 17-25.

[3] Zhang Y L, Wang G J. A bivariate optimal repair-replacement model using geometric process for a cold standby repairable system [J]. Eng Optim, 2006, 38: 609-619.

[4] Wang G J, Zhang Y L. An optimal replacement policy for repairable cold standby system with priority in use [J]. J Syst Sci, 2007, 38: 1021-1027.

[5] Lam Y. A geometric process maintenance model with preventive repair [J]. Eur J Oper Res, 2007, 182: 806-819.

[6] Zhang Y L. A bivariate optimal replacement policy for a repairable system [J]. Appl Prob, 1994, 31: 1123-1127.

[7] Lam Y, Zhang Y L. Analysis of a parallel system with different units [J]. Acta Math Appl Sinica, 1996, 12: 408-417. [8] Zhang Y L. A geometrical process repair model for a repairable system with delayed repair [J]. J Comput Math Appl, 2008, 55: 1629-1643.

[9] Wang G J, Zhang Y L. Optimal periodic preventive repair and replacement policy assuming geometric process repair [J]. IEEE Trans Reliab, 2006, 55: 118-122.

[10] Zhang Y L, Yam R C M, Zuo M J. A bivariate optimal replacement policy for a multistate repairable system [J]. Reliab Eng Syst Saf, 2007, 92: 535-542.

[11] Zhang Y L, Wang G J. A geometric process repair model for a series repairable system with k dissimilar components [J]. Appl Math Model, 2007, 31: 1997-2007.

[12] Wang G J, Zhang Y L. An optimal replacement policy for a two-component series system assuming geometric process repair [J]. Comput Math Appl, 2007, 54: 192-202.

[13] Wang G J, Zhang Y L. A bivariate optimal repair-replacement policy for a warm standby repairable system with preventive repair [J]. Appl Math Comput, 2011, 218: 3158-3165.

[14] 谭林, 陈童, 郭波. 基于几何过程的单部件可修系统最优化维修策略[J]. 系统工程, 2008, (6): 88-92.

[15] 蒋仁言, 左明健. 可靠性模型与应用[M]. 北京: 机械工业出版社, 1998: 233-235.

[16] 曹晋华, 程侃. 可靠性数学引论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005: 254.

A Bivariate Optimal Repair-replacement Policy for a Warm Standby Repairable System with Preventive Repair

FAN Wei, ZHENG Haiying
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A study is made on a warm standby repairable system consisting of two dissimilar components and one repairman. Assuming that the work-failure repair of Component 1 and Component 2 follows geometric process, using preventive repair and the generalized Markov Process, the study obtains the precise expression of the average cost of the system, and achieves the method of making the smallest the average cost rate of the system as well.

Warm Standby System; Minimal Repair; Preventive Repair; Geometric Process; Average Cost Rate

O151.23

A

1674-3563(2014)02-0008-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2012-11-27

樊伟(1986- )，女，山东郯城人，硕士研究生，研究方向：应用统计．† 通讯作者，wzzhying@163.com