一个易错的简易逻辑问题引发的思考

何承全

摘 要：中学课本中经常出现蕴涵形式（p→q）的复合命题，当一个蕴涵形式（p→q）的复合命题中p是q的充分不必要条件时，书写其否定形式时容易犯一种常见的错误，如“q：x=y”，其否定不能简单地写成“？劭q：x≠y”，而应该写成“x不一定等于y”. 本文針对此问题做了一些探讨.

关键词：命题；命题的否定；一定等于；不一定等于

■问题的提出？摇

在讲命题的否定时，有这样的一个结论：如果一个命题是正确的，那么这个命题的否定一定是错的；相反，如果一个命题是错误的，那么这个命题的否定一定是正确的. 例如，命题1：如果两直线平行，则同位角相等（此命题正确），其否定形式为：如果两直线平行，则同位角不相等（此命题不正确）. 命题2：若m>■，方程x2+x+m=0有解（此命题不正确），其否定形式为：若m>■，方程x2+x+m=0无解（此命题正确）.

对照以上的结论，笔者让学生做如下的问题：写出命题“若a2=b2，则a=b”的否定形式并判定两个命题的真假.

学生答案一致如下：其否定形式为：若a2=b2，则a≠b. 两个命题都是假命题.

问题出在哪？笔者无法向学生解释前面的结论，甚至自己也开始怀疑结论“如果一个命题是正确的，那么这个命题的否定一定是错的；相反，如果一个命题是错误的，那么这个命题的否定一定是正确的”的正确性.

■思考

命题是能够判定真假的陈述句，命题有简单命题和复合命题之分，简单命题可由五种逻辑联结词连结构成复合命题，它们分别是：否定词“非”，合取词“且”，析取词“或”，蕴涵词“如果……，那么……”，等值词“当且仅当”.

命题“若a2=b2，则a=b”是一种由蕴涵词“如果……，那么……”连结两个简单命题而成的复合命题，其逻辑格式为“如果p，那么q”，其真值情况取决于p，q的真值性，具体见下表（T表示正确，F表示错误）：

■

下面为了说明的方便，我们把命题“若a2=b2，则a=b”记为命题A，把其否定形式“若a2=b2，则a≠b”记为命题B.

①若a，b同号或同为零，a，b无论怎样取值，由上表可知，命题A正解，命题B不正确.

②若a，b异号，a，b无论怎样取值，由上表可知，命题A不正确，命题B正确.

由此仍然说明结论“如果一个命题是正确的，那么这个命题的否定一定是错的；相反，如果一个命题是错误的，那么这个命题的否定一定是正确的”的正确性.

■回归中学课本

作为逻辑意义上的命题“若a2=b2，则a=b”，其正确性是可以变化的，但中学课本中的形如“若a2=b2，则a=b”的命题，其“a=b”是指只要条件具备，a就一定等于b，它的否定应该是“若a2=b2，则a不一定等于b”. 类似与这样的问题在中学课本中还有很多，又例如：“若x满足x2-2x-3=0，则x=3”等等，这类问题“结论”是“题设”的充分不必要条件，命题的否定形式并不是把“=”改为“≠”那么简单，而是把“等于”改为“不一定等于”.